Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti alimov r. X., Almuradov a. A., Xomidov s. O. Ekonometrik modellashtirish

V BOB. REGRESSION TAHLILNING UMUMLASHTIRILGAN SXEMALARI

1. 
   Umumlashtirilgan “eng kichik kvadratlar usuli”
   

Regressiya tenglamasining koeffitsiyentlarini eng kichik kvadratlar usuli asosida hisoblash mumkun. Mezon: haqiqiy miqdorlarning tekislangan miqdorlardan farqining kvadratlari yig`indisi eng kam bo`lishi zarur:

t
S  _Y  Y 2  min

Misol: Y_t  a₀  a₁t

Qiymat

_Y  Y 2

eng kam bo`lishi uchun birinchi darajali hosilalar nolga teng

t
bo`lishi kerak.


t
S  _Y  Y 2
 _Y  a₀

• 
  
  1
  a t2  min
  

S

a₀

S

a₁

 0 ^;

 0 ^;


^ n  a₀  a_{1 }t  _ y

2

_a_{0 }t  a_{1 }t  _ y  t

Normal tenglamalar tizimi.


t
S  _Y  Y 2  min

Demak,

Y  a  a x  a x²  ...  a xⁿ

0 1 1 n

^S  _2Y  a
a X a X ²  ... a

X ⁿ  1  0

a₀

0 1 2 n

^S  _2Y  a

a X a X ²  ... a

X ⁿ   X   0

a₁

0 1 2 n

..............................................................................

^S  _2Y  a

a X a X ²  ... a X ⁿ   X ⁿ   0

a_n

0 1 2 n

Chiziqli funksiya bo`yicha tekislanganda

Y  a₀  a₁ X

S  _Y  a₀

• 
  a X ²  min
  

1
^{ S}  _2Y  a  a X  (1)  0

_{ a} 0 1

^ S0



^_a₁

 _2Y  a₀  a₁ X  ( X )  0

Bundan,

^_ y  n  a₀  a₁  _ X  0


_

y  X  a₀

 _ X  a₁

 _ X ²  0


^_n  a₀  a₁  _ X _ y


2
_a₀  _ X  a₁  _ X _ y  X

Iqtisodiy qatorlar dinamikasi tendensiyasini aniqlash vaqtida ko`pchilik hollarda turli darajadagi polinomlar:¹

^ _ ^k _^u i  1, 0,1,..., k 


_ 0 i _
y(t)  a  _a t ⁱ _{ }

 i1 

u  1, 1

va eksponensional funksiyalar qo`llaniladi:


^  ^{a } k ^{a ti} u

i  1, 0,1,..., k 

y(t)  _e

_

i 1 _





u  1, 1 ^.

Shuni qayd etib o`tish lozimki, funksiya shakli tenglashtirilayotgan qatorlar dinamikasi xarakteriga muvofiq, shuningdek, mantiqiy asoslangan bo`lishi lozim.

Polinomning eng yuqori darajalaridan foydalanish ko`pchilik hollarda o`rtacha kvadrat xatolarining kamayishiga olib keladi. Lekin bunday vaqtlarda tenglashtirish bajarilmay qoladi.

2. Avtokorrelyatsiya va uni tekshirish usullari

Avtokorrelyatsiya- bu keyingi darajalar bilan oldingilari o`rtasidagi yoki haqiqiy darajalari bilan tegishli tekislangan qiymatlari o`rtasidagi farqlar orasidagi korrelyatsiyadir.

Hozirgi vaqtda avtokorrelyatsiya mavjudligini tekshirishda Darbin – Uotson

mezoni qo`llanadi:

_
n1


DW 
Y_i

^{ Y}i1 ^

2
i1


_Y
n1

2

i

i1
DW mezonning mumkin bo`lgan qiymatlari 0–4 oraliqda yotadi. Agar qatorda avtokorrelyatsiya bo`lmasa, uning qiymatlari 2 atrofida tebranadi. Hisoblab topilgan haqiqiy qiymatlari jadvaldagi kritik qiymat bilan taqqoslanadi. Agarda DW_haqDW_past bo`lsa, qator avtokorrelyatsiyaga ega; D<sub>haq</sub>DW<sub>yuqori</sub> bo`lsa u avtokorrelyatsiyaga ega emas; DW_pastDW_haqDW_yuqori bo`lsa, tekshirishni davom ettirish lozim. Bu erda DW<sub>past</sub> va DW<sub>yuqori</sub>– mezonning quyi va yuqori chegaralari.<sup>2</sup> Salbiy avtokorrelyatsiya mavjud (minus ishoraga ega) bo`lsa, u holda mezon qiymatlari 2–4 orasida yotadi, demak, tekshirish uchun DW4- DW qiymatlarini aniqlash kerak

Vaqtli qatorlarning keyingi va oldingi hadlari o`rtasidagi korrelyatsion bog`lanish hisoblanadi. Avtokorrelyatsiyaning mavjuligi qatorlar dinamikasi darajalarining o`zaro boliqligidan, keyingi hadlarning oldingi hadlarga kuchli darajada boliqligidan dalolat beradi. Chunki korrelyatsion tahlil usulini o`zaro bog`langan har bir qator darajasi statistik mustaqillikka ega bo`lgan, o`rganilayotgan qatorlar dinamikasida avtokorrelyatsiya mavjudligini aniqlash lozim bo`lgan hollardagina tadbiq etish mumkin. Avtokorrelyatsiya mavjudligini tekshirish jarayoni quyidagicha amalga oshiriladi. r_a (hisob) qiymati hisoblanadi:

^zt ^zt 1

t
r_a (хисоб) 

_z2

bunda: z_t - qoldiq miqdor.

Agar hisoblab topilgan r_a (hisob) miqdor berilgan bir protsentli xatolar ehtimolligi va erkinlik daraja sonlari N - n- 1 bo`lganda tegishli r<sub>a</sub> (jad) (r<sub>a</sub> (jad)<r<sub>a</sub>(hisob)) qiymatidan katta bo`lsa, avtokorrelyatsiya bo`lmaydi. So`ngra ishonchlilik intervallari aniqlanadi. U koeffittsientlar variatsiyasi yordamida quyidagi formula asosida aniqlanadi

V 

3. Gomoskedatlik va geteroskedatlikni aniqlash uchun testlar

“Eng kichik kvadratlar” usulining ekonometrik modellardagi parametrlarni baholashda qoldiqlar kvadratlari yig`indisining minimumga intilishiga asoslanadi. Shuning uchun regressiyaning qoldiq qiymatlarini ko`rib chiqish muhim ahmiyat kasb etadi.

“Eng kichik kvadratlarining” uchinchi taxmini gomoskedatlikka tegishli bo`lib, u har bir X uchun qoldiqning dispersiyasi bir xil bo`lishi ekanligini anglatadi. Bu

taxmin, masalan X ning katta qiymatlari uchun qoldiq dispersiyasini imkoni, huddi

i
Var( ) ²

kichik qiymatlardagi kabi degan tasdiq bilan kelishiladi.

Agar yuqoridagi “Eng kichik kvadratlar” usulining qo`llanish sharti bajarilmasa, bunda geteroskedatlik holati hosil bo`ladi. Geteroskedatlik regressiya tenglamasining parametrlari samaradorligini pasayishiga ta’sir qilmoqda.

5.1.-rasm.Geteroskedatlik holatlari³

Ko`p omilli holatda:

Y  a_0i  a_1i X_i  U_i

, a₀ va a₁ koeffittsientlarni quyidagi

shartlardan kelib chiqqan holda aniqlash mumkin:

E(U )  0,i  N

^i j
E(U U )  ^0

агар i  j,

i,j  N

^σu

агар i  j,

i,j  N

Sodda iqtisodiy modellarni ko`rib chiqishda bu masalani standart usuli yordamida echish mumkin. Eng kichik kvadrat usuli klassik hisoblanadi. Lekin nisbatan murakkabroq vaziyatlarda murakkab ekonometrik modelni ko`rib chiqishda murakkab texnika yo`llardan foydalangan xolda yangi usullarni ishlab chiqish zarur.

Oddiy chiziqli regression modelning to`liq spetsifikatsiyasi regression tenglamadan va 5 ta birlamchi yo`l qo`yishlardan tashkil topgan.

Shu yo`l qo`yishlarni ko`rib chiqamiz. Birinchi ikki taxmin shundan iboratki, X ning xar bir qiymati uchun  hato nol qiymat atrofida me’yoriy taqsimlangan. Taxmin qilinadiki, <sub>i</sub> uzluksiz kattalik hisoblanib, o`rtacha atrofida simmetrik taqsimlangan

• 
   dan   gacha o`zgaradi va uning taqsimlanishi 2 o`lcham o`rtacha va variatsiya
  

yordamida aniqlanadi.

Demak: Birinchi taxmin: _i - me’yoriy taqsimlangan.

Ikkinchi taxmin:

E( )  0

• 
  o`rtacha hato nolga teng.
  

i
Haqiqatda biz stoxastik hatoni har bir qiymatini, ko`pgina sabablar natijasi sifatida ko`rishimiz mumkinki, bunda har bir sabab bog`liq o`zgaruvchini, u deterministik hisoblanishi mumkin bo`lgan qiymatdan sezilarsiz tarzda og`diradi.

Bunday ko`zdan kechirishda o`lchash hatosi o`xshashi bilan taqsimot hatosi to`g`ri va shuning uchun o`rtacha hatoni me’yoriyligini va nolga tengligi haqida taxminlar o`xshash.

Uchinchi taxmin gomoskediklikka tegishli bo`lib, u har bir hato <sup>2</sup> ning qiymati noma’lum bo`lgan bir xil variatsiyaga ekanligini anglatadi. Bu taxmin, masalan X ning katta qiymatlari uchun hato dispersiyasini imkoni, huddi kichik qiymatlardagi kabi degan tasdiq bilan kelishiladi. Yuqorida ko`rib o`tilgan ishlab chiqarish funksiyasida, bu taxminga asosan ishlab chiqarishdagi variatsiya ham, ish kuchi

qiymatiga bog`liq emas.

Uchinchi taxmin: Gomoskediklik

i
Var( )   ²

To`rtinchi taxmin: qoldiqdagi avtokorrelyatsiya bilan bog`liq. Taxmin qilinadiki, hatolar orasida avtokorrelyatsiya yo`q, ya’ni avtokorrelyatsiya mavjud emas

^Cov(_i ^, _j ^{)  0} i  j
Bu taxmin shuni anglatadiki, agar bugun natijadagi ishlab chiqarish kutilgandan ko`p bo`lsa, bundan ertaga ishlab chiqarish ko`p (yoki kam) bo`ladi degan xulosaga kelish kerak emas.

Birinchi va to`rtinchi taxmin birgalikda ehtimollik nuqtai-nazaridan, taqsimot hatolari bog`liq emas deyish imkonini beradi. Shuning uchun ₁, ₂,..._n o`zgaruvchini o`xshash va erkin taqsimlanishi sifatida qaralishi mumkin. E(_i)=0 bo`lgani uchun

i
Var( )  E( )²

Bundan

Cov( _i , _j )  E( _i , _j )

Beshinchi tahmin: X erkin o`zgaruvchi stoxastik emasligini tasdiqlaydi. Boshqacha qilib aytganda, X ning qiymatlari nazorat qilinadi yoki butunlay bashorat qilinadi.Bu taxminni muhim qo`llanilishi shundan iboratki, i va j ning barcha qiymatlari uchun

i j j i
E( , X )  X E( )  0

Beshinchi taxmin: X qiymatlari stoxastik emas, ular tanlashda tanlov miqyosidan qat’iy nazar o`xshash

_{n } 
1 ₂

^{( ) ( X}_i ^{X )} ,

n1

noldan farq qiladi va uning n limiti chekli son.

To`g`ri, amaliyotda ko`rsatilgan tahminlarni mutloq mavjudligiga aniq erishish qiyin, lekin biz agar bu tahminlarga tahminan amal qilinsa qoniqish hosil qilamiz.

Yuqorida keltirib o`tilgan tahminlar klassik chiziqli regression model tuzish, regresiya parametlarini hisoblash uchun zarur.

Regression tenglama va besh taxmin bilan keltirilgan regression modelning to`liq spetsifikatsiyasidan so`ng, endi uni ayrim o`ziga hos tomonlarini ko`rib chiqamiz. Avvalombor,  bog`liq o`zgaruvchining taqsimot ehtimoliga qaytamiz.

_i funksiyaning birinchi o`rtachasi, tenglamaning ikki qismini matematik kutilishi sifatida olinishi mumkin:

E(Y_i )  E(  X_i   _i )    X_i

Bu,  va  parametrlar spetsifikatsiyasidan, X_i ning stoxastik emasligidan (bu

berilgan son ) va

  0

o`rtachadan (ikkinchi taxmin) kelib chiqadi.

i
Keyin Y_i variatsiya bo`lmish

Var(Y )  EY  E(Y )2  E(  X   )  (  X )2  E( ² )   ²

i i i i i i i

Har bir X bog`liq o`zgaruvchiga  o`zgaruvchini o`rtacha qiymatini beruvchi tenglama regressiyaning empirik chizig`i deyiladi.

Bu chiziqni ordinata bilan kesishishi, X ning nolga teng qiymatida  bahosini o`lchaydigan  kattalikka mos keladi.  ning og`ishi,  qiymatni X qiymatning har bir qo`shimcha birligiga og`ishdagi o`zgarishini o`lchaydi. Masalan, agar  yalpi iste’mol, X yalpi daromad ko`rinishida bo`lsa, u holda  nolga teng daromadda iste’mol darajasining chegaraviy og`ishini namoyon qiladi. Bu o`lchamlar qiymatlari noma’lum bo`lgani uchun regressiyaning empirik chizig`i ma’lum emas.  va  ning o`lchamlari qiymatlarini hisoblab, regressiyaning nazariy chizig`ini olamiz.  va 

 

ning qiymatlari

 ва 

hisoblangandek mos hisoblangan bo`lsa, mos xolda, bunda

regressiyaning nazariy chizig`i quyidagi tenglama orqali berilgan :

Y^  ^  ^X

i i


i
bunda Y^ -  ning tekislangan qiymati.

Barchasi bo`lmasa ham, ko`pchiligi  empirik qiymatlar nazariy chiziqda

yotmaydi, shuning uchun i va

Y^ qiymatlar mos kelmaydi. Bu farq qoldiq deb

i
ataladi va  _i

bilan belgilanadi. Shuning uchun quyidagi tenglamalar farqlanadi:

Y_i    X_i  _i

(empirik)

i

Y

i
^  ^  ^X

• 
  _i
  

(nazariy).