Nyutonning birinchi interpolyatsion ko’phadi asosida sonli differensiallash formulasi.
Bizga
y( x)
funksiyaning [a, b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan
xi ( i 0, 1, 2, ..., n)
nuqtalarda
yi
f ( xi )
qiymatlari bilan berilgan bo’lsin.
Berilgan [a, b] oraliqda funksiyaning
y
f ( x),
y
f ( x),...
hosilalarini topish
uchun,
y( x)
funksiyani
x0 ,
x1,..., xk ( k n)
nuqtalardagi Nuyoton interplyasion
formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega bo’lamiz:
y( x) y
q( q 1) 2 y
q( q 1)( q 2) 3 y
...
(3)
bu yerda
0 0
q x x0 ;
h
2!
h xi1
0
3! 0
i 0, 1, 2, ... .
Binom ko’paytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:
y(x) y0 qy0
(q2 q) 2
2
y0
q3 3q2 2q 6
3
y0 ...
(4)
Shunday qilib
U holda
dy dy dq 1 dy dx dq dx h dq
1
2q 1 2
3q2 6q 2 3
y ( x) h y0 2 y0 6 y0 ...
(5)
Shu tarzda
ekanligidan
y(x) d ( y) d ( y) dq
dx dq dx
1 2 3
6q2 18q 11 4
y ( x) h2 y0 ( q 1)
y0
12 y0 ...
(6)
kelib chiqadi.
Shu usul bilan ega bo’lamiz.
y( x)
funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga
E’tibor bersak, x ning belgilangan nuqtasidagi
y( x),
y ( x), ...
hosilalarini
topishda x0
keladi.
sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini olishimizga to’g’ri
Bazan,
y( x)
funksiyaning hosilasini topishda asosan berilgan xi
nuqtalardagi foydalaniladi. Bunda sonli differensiallash formulasi bir muncha qisqaradi. Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlang’ich nuqta deb
faraz qilib olsak, unda bo’lamiz:
x x0 ,
q 0
ko’rinishda yozsa bo’ladi va quyidagiga ega
1
2 y 3 y 4 y
5 y
0
y ( x0 ) h y0
2 3 4
5 ...
(7)
y( x ) 1 2 y
3 y 11 4 y
5 5 y ...
(8)
0 h2 0 0 12 0 6 0
Agar
Pk ( x)-Nyuton interpolyatsion ko’phadining chekli ayirmalari
0 0 0
y , 2 y , ... , k y
hosilasining xatoligi
va mos ravishda xatoligi
Rk (x) y(x) Pk (x)
bo’lsa, unda
bo’ladi.
Rk ( x) y( x) Pk( x)
Oldingi ma’ruza mashg’ulotlarimizdan ma’lumki, interpolyatsion ko’phad xatoligi quyidagi shaklda:
R (x) (x x0 )(x x1)...(x xk ) y(k 1) ( ) hk 1 q(q 1)...(q k) y(k 1) ( )
k (k 1)! (k 1)!
Bu yerda -
x , x , x ,..., x orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli
y(x) C(k2)
0 1 2 k
ko’zlasak u holda quyidagiga ega bo’lamiz:
R( x) dRk
k dq dx
hk
(k 1)
d d
(k 1)
( k 1)! y
( ) dq q(q 1)...(q k) q(q 1)... dq y
( ).
Shu yerdan bilib
x x0 ,
va q 0 hamda
d q( q 1)...( q k)
q0
dq
(1)k k!,
ekanligini
k
Rk (x0 ) (1)
hk
y
k 1
(k 1)
( ).
(9)
Shunday qilib
y( k 1) ( )
ko’pgina hollarda baholash qiyinchilik tug’diradi, lekin h
ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:
demak
y(k 1)
k 1
y
( ) 0
hk 1
(1)k
k 1 y
Nyutonning ikkinchi interpolyatsion ko’phadi asosida sonli differensiallash
formulasi.
Funksiyani oxirgi nuqtalardagi birinchi interpolyatsion ko’phad orqali ifodalash amalyotda noqulayliklar tug’diradi. Bunday hollarda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiyasi orqali ifodalash kerak bo’ladi. Sonli differensiallash jarayoni huddi birinchi interpolyatsion shaklda keltirib chiqariladi. Bunda ham
y( x)
funksiyaning [a, b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan
xi ( i 0, 1, 2, ..., n)
nuqtalarda
yi
f ( xi )
qiymatlari bilan berilgan bo’lsa,
y
f ( x),
y
f ( x),...
hosilalarini topish uchun,
y( x)
funksiyani
x0 ,
x1,..., xk ( k n)
nuqtalardagi
Nuyotonning ikkinchi interplyasion formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega bo’lamiz:
y( x) y
q( q 1) 2 y
q( q 1)( q 2) 3 y
...
(12)
bu yerda
0 0
q x xn ;
h
2!
h xi1
0
3! 0
i 0, 1, 2, ... .
Binom ko’paytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:
y(x) y0 qy0
Shunday qilib
(q2 q) 2
2
y0
q3 3q2 2q 6
3
y0 ...
(13)
U holda
dy dy dq 1 dy dx dq dx h dq
1
2q 1 2
3q2 6q 2 3
y ( x) h yn 2 yn 6 yn ...
(14)
Shu tarzda
ekanligidan
y(x) d ( y) d ( y) dq ,
dx dq dx
1 2 3
6q2 18q 11 4
y ( x) h2 yn ( q 1)
yn
12 yn ...
(15)
kelib chiqadi.
Shu usul bilan ega bo’lamiz.
y( x)
funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga
E’tibor bersak, bunda ham x ning belgilangan nuqtasidagi
y(x),
y (x), ...
hosilalarini topishda x0
sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini
olishimizga to’g’ri keladi.
Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlang’ich nuqta deb
faraz qilib olsak, unda bo’lamiz:
x xn ,
q 0
ko’rinishda yozsa bo’ladi va quyidagiga ega
1 2 y 3 y
4 y 5 y
n
y ( xn ) h yn 2 3 4 5 ...
(16)
y( x ) 1 2 y
3 y 11 4 y
5 5 y ...
(17)
0 h2 n n 12 n 6 0
Agar
Pk ( x)-Nyuton interpolyatsion ko’phadining chekli ayirmalari
0 0 0
y , 2 y , ... , k y
hosilasining xatoligi
va mos ravishda, xatoligi
Rk (x) y(x) Pk (x)
bo’lsa, unda
bo’ladi.
Rk ( x) y( x) Pk( x)
Interpolyatsion ko’phad xatoligini baholash orqali, differensiallash xatoligi aniqlanadi.
R (x) (x xk )(x xk 1)...(x x0 ) y(k 1) ( ) hk 1 q(q 1)...(q k) y(k 1) ( )
k (k 1)! (k 1)!
Bu yerda -
x , x , x ,..., x orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli
y(x) C(k2)
0 1 2 k
ko’zlasak u holda quyidagiga ega bo’lamiz:
Rk ( x)
k
dR dq h
k
( k 1)
y
( )
d q( q 1)...( q k) q( q 1)... d
y
( k 1)
(
) .
Shu yerdan
x xn , va
q 0
hamda
d q( q 1)...( q k)
q0
dq
k!,
ekanligini bilib
quyidagiga ega bo’lamiz:
hk (k 1)
Rk ( x0 ) k 1 y
( ).
(18)
Shunday qilib
y( k 1) ( )
ko’pgina hollarda baholash qiyinchilik tug’diradi, lekin h
0
ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:
y(k 1)
( )
k 1 y hk 1
demak
1 k 1 y
Misol1. Jadvalda keltirilgan
y lg x
funksiyaning qiymatlaridan foydalanib
y(50)
ning qiymatini birinchi interpolyatsion almashtirishda foydalanib
hisoblang.
x
|
y
|
y
|
2 y
|
3 y
|
50
|
1,6990
|
414
|
-36
|
5
|
55
|
1,7404
|
378
|
-31
|
|
60
|
1,7782
|
347
|
|
|
65
|
1,8129
|
|
|
|
Yechish. Bu yerda h=5. Keltirilgan jadvalning oxirgi 3 ta ustunini chekli ayirmalar bilan to’ldiramiz, (8) formuladan foydalanib hisoblasak quyidagiga ega bo’lamiz:
Haqiqatdan ham
y(50) 1 (0,0414 0,0018 0,0002) 0,0087.
5
y 1 1
1 1
0,0087.
x x ln10 50 2,302585
Ko’rinib turibdiki sonli usuldagi hisob natijasi bilan analitik usuldagi hisob natijalarning 4 xona aniqlikdagi yaxlitlangan qiymatlari bir xil.
Do'stlaringiz bilan baham: |