Toshkent axborot texnilogiyalari universiteti axborot xavfsizligi fakulteti

Furye trigonometrik qatori asosida spektral tahlil
Купгина холларда оддий функциялар сифатида тригонометрик функциялар - синус ва косинуслар ишлатилади. Бу холда Фурье катори тригонометрик дейилади.
Даврий f(x) функциянинг Фурье тригонометрик катори куйидагича булади: бу ерда T функциянинг даври

ω₁ параметр (асосий частота) маълум Т давр оркали тасвирланади:

Фурье коэффициентлари a_n, b_n лар ортогонал гармоник базис хоссаларини ишлатиб топиш мумкин


Тригонометрик тенгликдан фойдаланилади:

Юкоридагилардан амплитуда ва фазалар учун куйидагилар аникланади:

Ушбу ифода Фурье коэффициентлари оркали амплитудали ва фазали спектрларни топиш имконини беради. Энди Фурье каторини куп частотали гармоник тебранишлар буйича спектриал ёйиш куринишида ёзиш мумкин

nω₁ частотадаги гармоник тебранишлар n- гармоникалар дейилади.




Nyuton usulida funktsiya oraliqda uzluksiz va hosilasi mavjud bo`lshi talab etiladi, yna shu oraliqda bo`lsin. Bu shartlarni qanoatlantiruvchi oraliqda tenglamaning qo`yilashidan u yagona yechimga ega bo`lishi kelib chiqadi.
Bu usulning g'oyasi: biz nuqtani tanlaymiz. Bu nuqtani boshlang'ich yaqinlashish nuqtasi sifatida qabul qilib, Shu nuqtada funktsiya grafigiga urinma chizamiz. Ushbu urinmaning OX o'qi bilan kesishish nuqtasi boshlang`ich yaqinlashish sifatida qabul qilamiz, xuddi shu tarzda, nuqtadan chizilgan urinmani OX o'qi bilan kesishish nuqtasi belgilanadi.
Keyingi hisoblashlar ham shunga o'xshash tarzda topilgan. Bu jarayon shart bajarilmaguncha davom etadi. Bu jarayonning yaqinlashuvchilini 2-rasmdan ko'rish mumkin. Nazariy jihatdan yaqinlashish tezligi yetarlicha yuqori ekanligini isbotlash mumkin. Bu amaliy misollar bilan tasdiqlangan. Nyuton usulining yana bir afzalligi shundaki, Nyuton usulida agar qandaydir xato qilsak, ya'ni qaysidir qadamda xato qilsak, usul bizni to'g'ri yo'lga boshlaydi.
Endi algoritmning matematik tavsifiga va hisoblash tartibiga o'tamiz. Urinmaning nuqtadagi funktsiya grafigiga o`tkazilgan urinma tenglamasi quyidagicha bo`ladi:
Urinmaning OX o'qi bilan kesishish nuqtasi: Shuning uchun qiymati uchun quyidagi formula olinadi
(3.3)
(3.3) formula keyingi yaqinlashishga o'tish uchun qaytariluvchi (рекуррент) bo`ladi. Keyingi taqribiy qiymati topish uchun har bir qadamda faqat oldingi taqribiy qiymatdan foydalanilganligi sababli, algoritmni shakllantirishda biz ushbu hisoblarni qabul qilib, algoritm matnini soddalashtirishimiz mumkin. Shunday qilib, Nyuton usulining algoritmini quyidagicha ifodalashimiz mumkin.

1. 
   Kiritish
   
2. 
   
   
3. 
   Agar bo`lsa u xolda o`ting
   
4. 
   Chiqish
   

Eslatma: dasturlashda va funktsiyalarni ko`rinishini funktsiyalarni berilish qismga qoyish mumkin.
Shunday qilib, biz har qanday algebraik tenglamalarni tatbiq etiladigan universal dasturni ko`ramiz.
Xulosa qilib aytganda, Nyuton usulining imkoniyatlarini va uning samaradorligini ko'rsatish uchun bitta misol keltiramiz.
Misol. ni qiymatini 0,001 aniqlik bilan hisoblash talab etilsin. Shubhasiz, arifmetik amallarning aniq, cheklangan ketma-ketligi yo'q, ba`zi hisob kitoblardan so`ng biz taqribiy qiymatni olishimiz mumkin. Keling, ushbu ifodani tenglama ko`rinishida yozib olamiz:

uning ildizlaridan biri oraliqda joylashgan bo'lib, bu tenglavani ko`rinishda yozib, tenglamaga Nyuton usulini qo'llasak, bu holda (3.3) formula quyidagicha bo'ladi:

yoki
ushbu formuladan foydalanib qiymatini qo`yib hisob-kitoblarni amalga oshirsak, quyidagilarga ega bo`lamiz:



Agar bu natijaning qiymatini qiymat bilan taqqoslasak, farqi 0,000003 aniqiikda ekanligini ko'ramiz. Faqat uch qadamda bunday katta aniqlikka erishildi.
Xuddi shunday algoritmni har qanday darajadagi ildizlarni hisoblash uchun tuzilish mumkin. Masalan, topish uchun biz quyidagi tenglamani yechamiz:

Va bu xolda Nyuton usuli bo'yicha hisoblash formulalari quyidagicha bo'ladi: