Toshkent arxitektura qurilish instituti matematika va tabiiy fanlar kafedrasi

  

birlik  matritsa

  

deyiladi va  

I

 

harfi bilan belgilanadi.

  

 

         Barcha   elementlari   nolga  teng  bo‘lgan  ixtiyoriy  o‘lchamdagi  matritsaga  

nol matritsa

 deyiladi va 

O

 

harfi bilan belgilanadi. 

        

A

    matritsada    barcha    satrlarni  mos  ustunlar  bilan  almashtirish  natijasida 

hosil    qilingan   

T

A

   matritsaga   

A

   matritsaning   

transponirlangan

    matritsasi

 

  

deyiladi:  

).

(

)

(

ji

T

ij

a

a



  Agar  

T

A

A



  bo‘lsa,   

A

   matritsaga  

simmetrik  matritsa  

deyiladi.

 

 

1.2. Matritsalar ustida arifmetik amallar  

Maritsalarning tengligi 

Bir xil o‘lchamli 

)

(

ij

a

A



 va 

)

(

ij

b

B



 matritsalarning barcha mos elementlari 

teng,  ya’ni 

ij

ij

b

a



 bo‘lsa, bu matritsalarga 

teng matritsalar

 

deyiladi va 

B

A



 deb 

yoziladi. 

 

 

 

         

Matritsani songa ko‘paytirish 

ij

ij

b

a

B

A







 

bacha 

n

j

m

i

,

1

,

,

1





 uchun 

---

 

 

        

1- ta’rif

.

 

)

(

ij

a

A



 

matritsaning 



 songa ko‘paytmasi

 

deb, elementlari   

ij

ij

a

c





 

 

kabi aniqlanadigan 

A

C





 matritsaga aytiladi.  

 

 

1.1-misol.

 



















1

4

3

0

1

2

A

 bo‘lsin. 

A

3  ni toping. 

Yechish. 

.

3

12

9

0

3

6

)

1

(

3

4

3

3

3

0

3

)

1

(

3

2

3

1

4

3

0

1

2

3

3





































































A

 

 

Matritsalarni qo‘shish va ayirish 

        

Matritsalarni    qo‘shish  va  ayirish    amallari

 

bir    xil    o‘lchamli    matritsalar

  

uchun  kiritiladi

. 

Bunda  yig‘indi  matrisa  qo‘shiluvchi  matritsalar  bilan  bir  xil 

o‘lchamga ega bo‘ladi. 

2-ta’rif

.

  

)

(

ij

a

A



 va  

)

(

ij

b

B



 

matritsalarning   yig‘in

disi

  

deb,  elementlari 

ij

ij

ij

b

a

c





 kabi aniqlanadigan 

B

A

C





 matritsaga aytiladi.  

 

 

 

1.2-misol. 

















1

0

3

4

1

1

A

 va 

















2

0

1

2

3

2

B

 bo‘lsin. 

B

A



 ni toping. 

Yechish. 





B

A

.

1

0

4

6

2

3

)

2

(

1

0

0

1

3

2

4

3

1

2

1

2

0

1

2

3

2

1

0

3

4

1

1













































































 

A

A









)

1

(

  matritsa 

A  

matritsaga qarama-qarshi matritsa

 

deb ataladi.  

       

3-ta’rif

.

   

)

(

ij

a

A



    va     

)

(

ij

b

B



 

matritsalarning  ayirmasi

      deb 

)

(

B

A

B

A

C











  matritsaga  aytiladi.    Bunda 

C

  matritsaning  elementlari 

ij

ij

ij

ij

ij

b

a

b

a

c











)

(

 kabi topiladi. 

.

ij

ij

ij

b

a

c

B

A

C











 

.

ij

ij

a

c

A

C











 

---

 

 

 

 

 

1.3-misol. 



















4

1

2

2

3

2

A

 va 

















1

1

2

2

3

1

B

 bo‘lsin. 

B

A



 ni toping. 

Yechish. 

.

5

2

0

0

6

1

)

1

(

4

1

1

2

2

2

2

3

3

1

2

1

1

2

2

3

1

4

1

2

2

3

2























































































B

A

 

  

Matritsalar

 

ustida chiziqli  amallar quyidagi xossalarga ega 

3

. 

        

O

C

B

A

,

,

,

 matritsalar 

n

m



 o‘lchsamli va

 





,

- 

skalyar sonlar bo‘lsa, 

u holda:  

 

.

1

o

 

;

A

B

B

A







                                          

.

2

o

 

);

(

)

(

C

B

A

С

B

A











         

        

.

3

o

 

;

A

O

A





                                                

;

)

(

.

4

O

A

A

o







    

        

.

5

o

 

;

)

(

B

A

B

A













                                

.

6

o

 

;

)

(

A

A

A















 

         

.

7

o

;

)

(

)

(

)

(

A

A

A















                        

;

1

.

8

A

A

o





 

         

;

)

(

.

9

T

T

T

o

B

A

B

A







                            

;

)

(

.

10

T

T

o

A

A







 

       

.

11

o

 

B

C

A





  bo‘lsa, 

A

B

C





 bo‘ladi; 

       

.

12

o

 

O

A





  bo‘lsa,  

0





 yoki 

O

A



 bo‘ladi; 

       

.

13

o

  

B

A







  va 

0





 bo‘lsa, 

B

A



 bo‘ladi. 

Isboti.

 

o

o

4

1



 xossalarning isboti bevosita 2-ta’rifdan kelib chiqadi. 

o

5 -xossani qaraymiz. 

A

 va 

B

 bir xil o‘lchamli matritsalar bo‘lsin.  

U holda 1 va  2-ta’riflarga ko‘ra istalgan 

j

i

,  da birinchidan  

)

(

ij

ij

b

a

B

A







  

 yoki   

)

(

B

A





)

(

)

(

)

(

ij

ij

ij

ij

b

a

b

a















 

va ikkinchidan  

B

A

b

a

ij

ij















)

(

)

(

 

bo‘ladi.   Oxirgi ikkita tenglikdan  

)

(

B

A





B

A









 bo‘lishi kelib chiqadi 

4

. 

Qolgan xossalar shu kabi isbotlanadi.  

                                                 

3

 

Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp. 92-112 

4 

E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 255-265

 

 

.

ij

ij

ij

b

a

c

B

A

C











 

---