Тошкент Ахборот Технологиялари Университети Кафедраси: дт гурух: 216-05 иту

Олтин кесиш усули
Бу усулда кейинги қадамдаги ноаниқлик интервалини [x^+(k+1), x^++(k+1)] y(x) функциянинг x₁^(k), x₂^(k) нуқтадаги қийматлар ҳисобланади. Аммо дихатомия усулидан фарқлироқ бу x₁^(k), x₂^(k) нуқталар олдинги ноаниқлик интервалининг [x^+(k), x^++(k)] чегаравий нуқталаридан симметрик жойлашганлиги x₁^(k), x₂^(k) нуқталарни топиш учун қуйидаги ифодадан фойдаланамиз:

Геометрияда бирор кесмани (1) ифода кўринишда кесмаларга ажратишни “олтин кесиш” дейилади.

k- қадамдаги тажриба нуқтаси х₁^(k) ва x₂^(k) ни топиш учун қуйидаги формуладан фойдаланамиз.

бу ерда .
Бу ерда а₁, а₂ сонлари const лар бўлиб, фибоначи касрлари дейилади. У қуйидаги хусусиятларга эга:
а₁=a₂² a₁+a₂=1
Олитн кесиш усулининг асоаий натижаси шундан иборатки, у(х) функциянинг қийматлари 1- ноаниқлик интервали [x^+(k), x^++(k)] да x₁⁽¹⁾ ва x₂⁽¹⁾ нуқталарда аниқланади. Қолган қадамларда эса функциянинг қиймати фақат 1 та нуқтада ҳисобланади.
k+1 қадамда ноаниқлик интервали [x^+(k+1), x^++(k+1)] топиш учун (k- қадамдаги тажрибалар асосида) қуйидагича амалга оширилади:

1. 
   Агар y(x₁^(k))< y(x₂^(k)), унда x^+(k+1)= x^+(k), x^++(k+1)= x₂^(k); x₂^(k+1)= x₁^(k);
   

x₁^(k+1)= x^+(k)+a₁(x^++(k)-x^+(k)).

2. 
   Агар y(x₁^(k))> y(x₂^(k)), унда x^+(k+1)= x₁^(k), x^++(k+1)= x^++(k), x₁^(k+1)= x₂^(k),
   

x₂^(k+1)= x^+(k)+a₂(x^++(k)- x^+(k)).
“Олтин кесиш” усули билан 1 ўзгарувчили функциянинг min ни топиш жадвалда дихатомия усулидаги ҳисоблаш натижаларини ифодаловчи жадвалдаги 5- устун бўлмаайди. “Олтин кесиш” усулидаги жадвалда қаторлар сони тажрибалар сонидан 1 тага каи бўлади, яъни k=n-1, k- қадамлар сони, n- тажрибалар сони.

k		x^++(k)	l^(k)
1		x^++(1)	l^(1)
2		x^++(2)	l^(2)
k		x^++(k)	l^(k)
k+1		x^++(k+1)	l^(k+1)

Юқоридаги келтирилганлар асосида қуйидаги мисолни кўриб чиқамиз:

k	x+(k)	x++(k)	x(k)	L(k)	x1(k)	x2(k)	y1(k)	y2(k)
1	0	1	0,5	1	0,382	0,618	1,279376	1,630434
2	0	0,618	0,309	0,382	0,236076	0,381924	1,118736	1,279284
3	0	0,381924	0,190962	0,236076	0,145895	0,236029	1,031972	1,118689
4	0	0,236029	0,118015	0,145895	0,090163	0,145866	0,980994	1,031945
5	0	0,145866	0,072933	0,090163	0,055721	0,090145	0,949994	0,980977
6	0	0,090145	0,045073	0,055721	0,034435	0,05571	0,93091	0,949984
7	0	0,05571	0,027855	0,034435	0,021281	0,034429	0,919116	0,930904
8	0	0,034429	0,017214	0,021281	0,013152	0,021277	0,911821	0,919113
9	0	0,021277	0,010638	0,013152	0,008128	0,013149	0,907309	0,911819
10	0	0,013149	0,006575	0,008128	0,005023	0,008126	0,904518	0,907307
11	0	0,008126	0,004063	0,005023	0,003104	0,005022	0,902793	0,904517
12	0	0,005022	0,002511	0,003104	0,001918	0,003104	0,901726	0,902792
13	0	0,003104	0,001552	0,001918	0,001186	0,001918	0,901067	0,901726
14	0	0,001918	0,000959

бу ерда . Ва х₁⁽¹⁾= 0.191 , x₂⁽¹⁾= 0.309, =-4.4688364, = -4.5417648 лар келиб чиқди.
2- қадамда > бўлгани учун қуйидаги


Агар y(x₁^(k))> y(x₂^(k)), унда x^+(k+1)= x₁^(k), x^++(k+1)= x^++(k), x₁^(k+1)= x₂^(k),
x₂^(k+1)= x^+(k)+a₂(x^++(k)- x^+(k)). (а)

қоидага кўра =0,191, x⁺⁺⁽²⁾ =0.5, =309, =0.381962, =-4,5417648, =-4,7294762 қийматлар келиб чиқди.

3- қадамда > бўлгани учун юқорида келтирилган қоидага кўра =0,309, x⁺⁺⁽³⁾=0.5, =0,381962 =0,427038, =-4,7294762, =-4,8973964 қийматлар келиб чиқди.
4-қадамда ҳам > бўлгани учун (а) қоидага кўра =0,381962, x⁺⁺⁽⁴⁾=0.5, =0,427038 =0,4549094, =-4,8973964, =-5,020483 қийматлар келиб чиқди.
5-қадамда ҳам шу қоидага кўра =0.427038, x⁺⁺⁽⁵⁾=0.5, =0,4549094, =0,4721285, =-5,020483, =-5,1037413 қийматлар келиб чиқди.
6-қадамда ҳам (а) қоидага кўра =0,4549094, x⁺⁺⁽⁵⁾=0.5, l=0.0450906 қийматлар келиб чиқди ва ε<0.05 бўлгани учун ҳисоблаш тўхтатилди.


Уринма усули
Фараз қилайлик f(x)=0 тенглма бирор- бир [x⁺, x⁺⁺] интервалда ягона илдизга эга бўлсин. Бу функциянинг 1-, 2- тартибли ҳосилалари бу оралиқда аниқланган узлуксиз ва ўз ишорасини сақлаб қолсин. Бу усулда f(x)=0 (1) ифоданинг бошланғич яқинлашуви х₀ ни танлаб олинади ва C₀(x₀, f(x₀) ) нуқтадан y=f(x) функциянинг графигига уринма ўтказилади ва уринманинг ОХ ўқи билан кесиш нуқтасигача давом эттирилади.
Уринманинг ОХ ўқи билан кесишиш нуқтаси х₁ (1) тенгламанинг ечимига бўлган 1- яқинлашув дейилади.
Уринма тенгламаси қуйидаги кўринишда бўлади
Уринма ОХ билан кесишишда 0 га тенг бўлади. Бундан кесишиш нуқтаси х₁ ни координатасини топиш мумкин:

Сўнгра C₁(x₂, f(x₁)) нуқтадан функция графигига уинма ўтказилади ва ОХ ўқи билан кесишиш нуқтаси аниқланади

х₂ нуқта 1- тенгламанинг ечимига бўлган 2- яқинлашув дейилади.
Умуман уринма усулида k- қадамдаги яқинлашув қуйидаги формула ёрдамида аниқланади:

Ҳисоблаш жараёнини тўхтатиш шарти
Бу ерда сигма
ε- ҳсиоблаш аниқлиги, берилган кичик сон.
Уринма усулида бошланғич нуқтани х₀ ни танлашда шундай нуқта танланадики, бу нуқта учун қуйидаги ифода ўринли бўлсин f(x₀)f”(x₀)>0 (5).
Акс ҳолда Ньютон усули (1) тенгламанинг ечимини топишда кафолат бермайди. Бу дегани, бошланғич нуқтада функциянинг ишораси билан функциянинг 2- тартибли ҳосила ишораси бир хил бўлиши керак. Кўпгина ҳолларда бошланғич нуқта сифатида х₀=х⁺ ёки х₀=х⁺⁺ чап ёки ўнг чегаралар олинади. Қайси нута учун (5) ифода бажарилса ўша бошланғич нуқта бўлади. Бу усул асосан (1) тенгламанинг илдизга яқин бўлган нуқталарда функциянинг ҳосиласини |f’(x)| модули бўйича катта бўлган тенгламалрни ечиш учун ишлатилади, яъни y=f(x) функцияни х^* нуқта яқинида катта букилишга бўлган ҳолларда ишлатилади. Бу усулнинг хатолиги (k ва k+1) қадамларда қуйидагича аниқланади.

(6) ифода шуни англатадики, уринма усулининг (х^*) ечимга яқинлашуви квадратикдир. Бу ўзнавбатида бу усулнинг амалий масалаларни ечишда кенг ишлатиш имконини беради. Юқорида айтилган кўрсатмалар шуни таъкидлайдики, агар бошланғич нуқта х₀ 1- тенгламанинг ечимига яқин нуқтадан олинган бўлса ўринлидир. Аммо бу масалада бир нечта қийинчиликлар мавжуд. Шунинг учун уринма усулидан олдин бирор бир усул билан (алгоритм билан) тенгламани ечимига яқинлашуви амалга оширилади. Бундай усулларга дихатомия, “олтин кесиш” усуллари мисол бўла олади.
Урунма усули эса (1) тенгламани ечишни охирги босқичларида ишлатилади. Уринма усулида бошланғич нуқта танлаш қуйидаги қоида асосида амалга оширилади f(x₀)f”(x₀)>0 бунда 4 та ҳол бўлиши мумкин:

Юқорида келтирилганлар асосида қуйидаги мисолни кўриб чиқамиз

y=x³+3x²-24x-5=0 ε=0.001

ХУЛОСА

Бу функциядан f’(x)=3x²+6x-24=0 f”(x)=6x+6=0

x=2 x=-1 ҳосила оламиз.
Бундан 3- қоидага кўра f(x⁺)=-0.3<0, f(x⁺⁺)=0.3>0 f’(x)=2>0, х⁺=х₀=-0.3 қийматлар аниқланди.
f(x₀)=-0.027+0.27+7.2-5=2.443
f’(x₀)=0.27-1.8-24=-25.53
f”(x₀)=-1.8+6=4,2
f(x₀)f”(x₀)>0

C₀=(-0.3, 2.443)



х₁