Topshiriq va dan iborat bo'lgan n ta ikkilik raqamlar bloki uchun si

Topshiriq
0 va 1 dan iborat bo'lgan n ta ikkilik raqamlar bloki uchun si(t) raqamli to'lqin shaklini qurishda qo'llaniladigan to'rtburchak impulsni p(t) belgilasin. Pulsning amplitudasi 1 ga teng va T bit davomiyligini, ya'ni 0 yoki 1 ikkilik belgisining davomiyligini bildirsin. Bazis vektorlari yordamida har qanday blokni ifodalash uchun bitta formula yozing, shunday qilib −1V ikkilik belgisi 0 uchun va +1V ikkilik belgisi 1 uchun ishlatiladi.
Yechim
Xabar signallari va vektorlar o'rtasida o'xshashlik o'rnatilishi mumkin, bunda t = 1, 2, …, n vaqtlarida tanlangan n ta belgilar ketma-ketligidan iborat signal si(t) n o'lchovli vektor sifatida ko'rsatilishi mumkin. Bu signallarning geometrik tasvirini ham taklif qiladi. Ushbu giperfazodagi har qanday Si vektori n ta raqam (si1, si2, …, sin) bilan belgilanadi, ular mos ravishda n ta bazis vektor bo'yicha Si komponentlarining kattaligini ifodalaydi. 2-11-rasmda mos ravishda bir, ikki yoki uchta ikkilik belgilar -1 va 1 dan iborat bir, ikki va uch o'lchovli signallarga misollar ko'rsatilgan. Shunday qilib, agar chegaralangan diapazonli signal namunalarining amplitudalari giperfazodagi nuqtaning koordinatalari bo'lsin, u holda bu nuqta to'liq signalni ifodalaydi. Signalning energiyasi si(t) quyidagicha ifodalanadi:

bu yerda |Si|2 - Si vektor uzunligining kvadrati. n ta belgining barcha mumkin bo'lgan vektorlarini (namunalarni) hisobga olsak, biz har bir signal uchun o'rtacha energiyani hisoblashimiz mumkin. Masalan, ikki o‘lchovli ikkilik signallar uchun mumkin bo‘lgan vektorlar {(−1, −1), (−1, 1), (1, −1), (1, 1)}, o‘rtacha energiya esa ( 2+2+2+2)⁄4 = 2 va uch o'lchovli ikkilik signallar uchun u 8×3⁄8 = 3 ga teng. Odatda, ikkilik signal uchun o'rtacha energiya E = n ga teng, ya'ni signal nuqtasining boshlang'ich nuqtasidan o'rtacha masofasi √n ga teng.

S = E ⁄n signalning alohida namunasi (belgisi) uchun o'rtacha energiyani, N esa kanaldagi signalga qo'shilgan oq Gauss shovqinining o'rtacha energiyasini bildirsin. [Eb va N0 belgilari baʼzan mos ravishda S va N oʻrniga ishlatiladi.] B tarmoqli kengligining tarmoqli cheklangan signali uchun biz Nyquist tanlama teoremasidan bizga 2B namunalari kerakligini bilamiz. T vaqt ichida olingan namunalarning umumiy soni n = 2⋅B⋅T va ularning umumiy energiyasi 2⋅B⋅T⋅(S+N) ga teng. Radiusi r bo'lgan n o'lchovli gipersferaning hajmi rn ga proportsionaldir. Qabul qilingan signalni shovqin tufayli noaniqlikning sferik mintaqasi bilan o'ralgan uzatilgan signal deb hisoblash mumkin, 2-12 (a) rasm. Agar ushbu noaniqlik mintaqalari bir-biriga to'g'ri kelsa, uzatilgan signallar qabul qiluvchida chalkashib ketishi mumkin. Oq gauss shovqinining ehtimollik taqsimoti funksiyasi cheksizgacha cho'zilganligi sababli, ular doimo bir-biriga mos keladi, ammo agar gipersferaning o'lchovliligi yuqori bo'lsa, deyarli barcha shovqinlar 2 ⋅ B ⋅T ⋅ N radiusi bilan aniq belgilangan sferada yotadi. Keyinchalik ishonchli aloqa muammosi kichik shovqinli sferalarning maksimal sonini katta signal-plyus-shovqin sferasiga to'plash muammosiga tushadi, 2-12 (b-rasm) ga qarang. Biz T vaqtida uzatishimiz mumkin bo'lgan farqlanadigan xabarlarning yuqori chegarasi signal-plyus-shovqin sferasi shovqin sferasi hajmiga nisbatiga teng:

Bu sonning logarifmini olib, T = 1 sek bilan tenglamani olamiz. (2.5). Ortiqcha kodlashning hiylasi - ba'zi mumkin bo'lgan signal nuqtalarini qoldirish, ya'ni ularni yaroqsiz deb e'lon qilish. To'g'ri nuqtalar 2-12 (b)-rasmda ko'rsatilganidek, radiusi 2BTN shovqin sferalarining (N-sferalarining) markazlari hisoblanadi. Tenglamadan yana bir muhim kuzatish. (2.7) shundan iboratki, har bir belgi uchun oʻrtacha signal va shovqin energiyasining bir xil nisbiy qiymatlari uchun (S+N)-sferaga oʻrnatilishi mumkin boʻlgan bir-birining ustiga chiqmaydigan N-sferalar soni fazoning oʻlchamlari ortib borishi bilan eksponensial ravishda ortadi ( ya'ni xabar uzunligi). Axborot haqiqatda m xabar tezligida uzatilishi mumkinligini ko'rsatish uchun tenglama. (2.7), men Shennon tomonidan taklif qilingan argumentga amal qilaman. Shannon bir-birining ustiga chiqmaydigan sferalarning markazlari sifatida m ta haqiqiy xabarni tanlash o'rniga, 2BTS radiusi gipersferasida tasodifiy joylashgan m nuqtani tanlashni taklif qildi. n-o'lchovli Si vektori ushbu sfera hajmining istalgan nuqtasida teng darajada yotish ehtimoli bo'lsa-da, u har qanday r radiusda, 0 ≤ r ≤ 2BTS radiusida, quyidagicha yotish ehtimoli teng emas. Har qanday D > 0 uchun signalning 2BTS − D radiusi sferasida bo'lish ehtimoli kichikroq sferaning kattaroq sferaga nisbatiga teng:

Bu miqdor n ni oshirish uchun nolga yaqinlashadi (n = 2BT ekanligini unutmang). (Kn faqat n ga bog'liq bo'lgan musbat doimiydir.) Shuning uchun signal nuqtalarining aksariyati radiusli gipersferaning yuzasi atrofida joylashgan r = 2BTS. 2-13(a)-rasmda ko'rsatilganidek, uzatiladigan signal va tasodifiy shovqin vektori, SR = ST + N dan iborat ma'lum bir uzatilgan ST signalini va ma'lum bir qabul qilingan signal SRni ko'rib chiqing. Biz maksimal ehtimollik qabul qilgichdan foydalanamiz, u quyidagicha ishlaydi. Qabul qilingan signal SR m "to'g'ri" xabarlardan biriga teng bo'lmasa, qabul qiluvchi "ST uzatildi" degan qarorni qabul qilishi kerak, agar qolgan (m - 1) haqiqiy signal nuqtalarining hech biri STga qaraganda SR ga yaqinroq bo'lmasa. O'tkazilayotgan signal odatda (har doim emas, lekin ko'p hollarda!), radiusi 2BTS bo'lgan shar yuzasiga yaqin joyda, qabul qilingan signal esa 2BT (S + N) radiusi bo'lgan shar yuzasiga yaqin joyda joylashgan.
Endi yuqori ehtimollik bilan uzatiladigan signal 2BTS radiusi sferasi yuzasiga yaqin joylashganligini va SR ga olib kelishi uchun u SR markazida joylashgan 2BTN radiusi sferasida ham yotishi kerakligini birlashtiring. Ikkala shartni bir vaqtning o'zida qondiradigan signal nuqtalarining joylashuvi 2-13 (b)-rasmda ko'rsatilganidek, linzadir. Ob'ektiv hajmini hisoblash oson emas, lekin u, albatta, h radiusli sharning hajmidan kamroq, bu erda h - shakl 2-13 (a) da ko'rsatilgan masofa. Buni osongina topish mumkin:

Shunday qilib, ob'ektivda biron bir signalni topish ehtimoli h radiusi va 2BTS sferalarining ovoz balandligi nisbatidan kamroq yoki [N⁄(S+N)]BT dan kam. Demak, SR ga sabab bo'lganidan (ya'ni, ST) tashqari barcha m "to'g'ri" signallarning ob'ektiv hajmidan tashqarida bo'lish ehtimoli tengsizlikni qondiradi:

Aniqlashda xatolik ehtimoli:

Agar m = [k⋅(1+S⁄N)]BT ni tanlasak, u holda Pe < k]BT. Demak, m ni (1+S⁄N)BT ga yaqin ixtiyoriy tanlab olish sharti bilan T ni oshirish orqali Pe ni ixtiyoriy ravishda kichik qilish mumkin. Buning ma'nosi,

bu erda e - kerakli darajada kichik tanlangan ijobiy raqam (siz qanchalik past xato darajasiga erishmoqchi ekanligingizga qarab). Ushbu tasodifiy tanlangan signallar bilan o'rtacha xato ehtimoli e dan kichik bo'lganligi sababli, m to'g'ri signallarning ba'zi tanlovlari (ya'ni, ba'zi kodlash protseduralari) bo'lishi kerak. e dan kichik xatolik ehtimolini bering. Quyidagi misol shovqinga qarshi immunitetga ega signal ishlab chiqarish uchun ortiqcha "to'g'ri" turini ko'rsatadi.
Asosiy kuzatuv shundan iboratki, biz individual belgilar bilan ishlash o'rniga, belgilar ketma-ketligi, ya'ni xabarlar bilan shug'ullanishimiz kerak. Qabul qilingan xabar, agar u oldindan belgilangan "to'g'ri" xabarlardan biri bo'lsa va boshqa hollarda noto'g'ri bo'lsa, xatosiz deb e'lon qilinadi. Uzunroq belgilar ketma-ketligini hisobga olgan holda, biz shovqinni ko'p belgilarda o'zini o'chirish imkoniyatini beramiz. Shovqin energiyasining yuqori o'lchamli bo'shliqqa tarqalishi shovqin ta'sirini kamaytiradi.