To‘plamlar va ular ustida amallar to‘plamlar va ularga doir tushunchalar

§2. CHЕKLI VA CHЕKSIZ TO‘PLAMLAR

• 
  Chekli to‘plamlar.
  
• 
  Cheksiz to‘plamlar.
  
• 
  Sanoqli to‘plamlar.
  
• 
  Sanoqsiz to‘plamlar.
  

To‘plamlar nazariyasida barcha to‘plamlar chekli va cheksiz to‘plamlarga ajratiladi. Bu to‘plamlarni ta’riflash uchun quyidagi tushunchalarni kiritamiz.

1-TA’RIF: Agar A va B to‘plamlar berilgan bo‘lib, har bir aА elementga biror f qonun-qoida asosida bitta va faqat bitta bB elеmеnt mos qo‘yilgan bo‘lsa (a→b), A to‘plam B to‘plamga aks ettirilgan deyiladi va f : A → B kabi ifodalanadi.
Masalan, akslantirishda X=(–∞, ∞) haqiqiy sonlar to‘plami Y=[–1, 1] kesmaga (f : X → Y), g(x)=x³ akslantirishda esa X=(–∞, ∞) to‘plamni o‘ziga (g : X → X) akslantiriladi.
2-TA’RIF: Agar f : X → Y akslantirish berilgan bo‘lsa, Y to‘plamning y=f(x) elementi X to‘plamning x elementining tasviri , x esa y elementning asli deyiladi.
3-TA’RIF: Agar f : X → Y akslantirishda har bir yY tasvirga uning faqat bitta xX asli mos kelsa (buni xy kabi ifodalaymiz), bu akslantirish X va Y to‘plamlar orasidagi o‘zaro bir qiymatli moslik deyiladi.
Masalan, : X=(–∞, ∞) → Y=[–1, 1] akslantirish o‘zaro bir qiymatli moslik bo‘lmaydi, chunki , tenglama X=(–∞, ∞) haqiqiy sonlar to‘plamida cheksiz ko‘p yechimga egadir. g(x)=x³ : X → X akslantirish esa o‘zaro bir qiymatli moslikdir, chunki y=x³ tenglama X=(–∞, ∞) haqiqiy sonlar to‘plamida faqat bitta yechimga egadir.
4-TA’RIF: Agar А to‘plamning elеmеntlari bilan natural sonlar to‘plami N ning dastlabki biror m ta elementlari orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatib bo‘lsa, unda A chekli to‘plam deyiladi .
Masalan, A={ Yer yuzidagi barcha odamlar}, B={Kitobdagi varaqlar}, C={Zavoddagi stanoklar}, D={Aksioner jamiyatdagi a’zolar} kabi to‘plamlar chekli bo‘ladi.
Ba’zi hollarda chekli to‘plamdagi elеmеntlar sonini aniq ko‘rsatib bo‘ladi, ba’zi hollarda esa bu sonni aniq ko‘rsatib bo‘lmaydi. Masalan, A={O‘zbekistondagi viloyatlar} to‘plami chekli va uning elеmеntlari soni m(A)=12 deb ko‘rsatish mumkin. Ammo B={Yer yuzidagi barcha daraxtlar} to‘plami ham chekli bo‘lsada, undagi elеmеntlar soni m(B) ni aniq ko‘rsata olmaymiz.
Umumiy holda chekli A to‘plamning elеmеntlar soni m(A)=m bo‘lsa, , bu to‘plamni А={а_1, а₂ ,…, а_m} ko‘rinishda yozish mumkin.
1-TЕORЕMA: Agarda chekli A va B to‘plamlarning elementlari soni mos ravishda m(A) va m(B) bo‘lsa, unda ularning birlashmasi АВ va kesishmasi AB elementlarining soni o‘zaro
m(АВ)=m(A)+m(B) – m(AB)
tenglik bilan bog‘langan.
Isbot: Faqat A yoki B to‘plamga tegishli elementlar sonini m_A yoki m_B deb belgilaymiz. Faqat A to‘plamga tegishli elementlar undagi barcha elementlar orasidan uning B to‘plamga kiradigan elementlarini chiqarib tashlashdan hosil bo‘ladi va shu sababli m_A=m(A)–m(AB) tenglikni yoza olamiz. Xuddi shunday m_B=m(B)–m(AB) bo‘ladi. АВ to‘plamdagi elementlar faqat A to‘plamga, faqat B to‘plamga va ularning ikkalasiga ham, ya’ni AB to‘plamga tegishli elementlardan tashkil topadi. Demak
m(АВ)=m_A+m_B +m(A∩B)= [m(A)–m(AB)]+ [m(B)–m(AB)]+ m(AB)=
= m(A)+m(B)–m(AB).