To'plamlar va ular ustida amallar. To'Plamlar algebrasi. Reja

А va В to'plamlarning umumiy elementlaridan to'zilgan С to'plamga А va В to'plamlarning kesishmasi deyiladi va А В ko'rinishda belgilanadi. Demak, С=A B Masalan yuqrida berilgan to'plamlar uchun А В={b, 2}.

A to'plamdan В to'plamning ayirmasi deb А ning В ga kirmagan elementlaridan to'zilgan to'plamga aytiladi va А \ В ko'rinishda belgilanadi.

Yuqridagi olgan misolimizda А \ В = { 1, a, c } va В \ А = {d}. Bundan

A \ B  B \ A ekanligi kelib chiqadi.

To'plamlarning ayirmasi bilan birga ularning simmetrik ayirmasi deb

ataluvchi АВ= (A \ B)(B \ A) bilan aniqlanuvchi to'plam ham qaraladi.

А va В to'plamlarning elementlaridan to'zilgan barcha mumkin bo'lgan ( a, b) ko'rinishdagi juftliklar to'plamiga А va В to'plamlarning tug'ri (Dekart) ko'paytmasi deyiladi va АХВ ko'rinishda belgilanadi. (a, b) juftlikda a A va b B. Demak, АХВ ={( a, b)  a A, b B}.

Masalan: А={1, 2, 3}, B={a, b} bo'lsa, АХВ={(1, a); (1, b); (2, a); (2,b);

(3,a); (3,b)} bo'ladi.
4. To'plamlar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega:

1). А А=А, A A=A  idempotentlik;

2). A B = B A, A B = B  A  kommutativlik;

3). A(B C)=(A B) C , A (B C)=(A B) C  assosiativlik;

4). A(B C)=(A B) (A C) , A(B C)=(A B) (A C)  distributivlik;

5). Agar А В bo'lsa, u holda А В=A va А В=А bo'ladi.

Biz faqat 4) ning birinchisini isbotlash bilan chegaralanamiz.

a). x A(B C) bo'lsin, u holda x A yoki x B  C. Faraz etaylik x A

bo'lsin. U holda x А В va x А С. Demak, x(A B)(A C).

Endi x B  C bo'lsin. U holda x B va x С. Demak, x А В va x А С.

Shuning uchun ham x(A B)(A C). Shunday qilib,

A(B C)  (A B) (A C) ( 1)

б). x(A B)(A C) bo'lsa, u holda x A B va x A C. Bundan x A yoki x В va x С. Agar x A bo'lsa, u holda x A(B C) bo'ladi.

Agarda x В va x С bo'lsa, x B  C bo'ladi va shuning uchun ham x A(B C). Demak,

(A B) (A C)  A(BC). ( 2)

(1) va (2) dan isbotlanishi talab etilgan tenglik kelib chiqadi.

5. To'plamlar nazariyasida bo'sh to'plam va universal to'plam deb ataluvchi to'plamlar muhim ahamiyatga ega.

Birorta ham elementga ega bo'lmagan to'plamga bo'sh to'plam deyiladi va  ko'rinishda belgilanadi.

Masalan: 1). Auditoriyadagi daraxtlar to'plami;

2). x+1=0 tenglamaning natural sonlardagi yechimlari to'plami;

3). O'zbyokiston xududidagi okeanlar (ummonlar) to'plami va boshqalar bo'sh to'plamga misol bo'ladi.

Qaralayotgan birorta to'plamning ham qism to'plami deb qaralmaydigan to'plamga universal to'plam deyiladi va U harfi bilan belgilanadi.

Ixtiyoriy А to'plam uchun АU bo'lgani sababli A U=U, AU=A, shuningdek

A =A, A =  bo'ladi.

U\A to'plamga А ning to'ldiruvchisi (ya'ni to'ldiruvchi to'plami) deyiladi va A' bilan belgilanadi.

Shuningdek, А В bo'lsa, В \ А to'plamga А ni В gacha to'ldiruvchi to'plam deyiladi va С_AВ=В\ А ko'rinishda belgilanadi. Osonlik bilan ko'rish mumkinki, A A' =U, A A' =, (A')'=A va agar А В bo'lsa, u holda В' А' bo'ladi.

(А В)'=А' В ', (А В)'=А' В' - to'plamlar uchun de Morgan qonuni.

6. To'plamlar va ular ustida amallarni diagrammalar yordamida ifodalash qulay. Buning uchun А to'plam biror doira ichidagi elementlardan to'zilgan deb qaraymiz. U holda ko'rib o'tilgan amallar quyidagicha tasvirlanadi:

а) A B в) A B с) A\ B









d) AB e) А' f) A B







ФФ