to'plam nazariyasi asosida (sanoq sonlar nazariyasi)

12-amaliy mashg'ulot. Nоmanfiy butun sоnlar to`plamini to`plamlar nazariyasi asоsida qurishga dоir misоllar yechish

Har bir fanni bayon etishda tushunchalarga nisbatan turlicha mulohaza yuritiladi. Chunki bu tushunchalarning ayrimlari o‘z-o ‘zidan tushuniladigan tushunchalar bo‘lsa, ayrim tushunchalar esa ma’lum tushunchalarga asoslangan holda mantiqiy mulohazalar yuritish asosida ta’riflanadi.

Boshqacha aytganda, tushunchalar ta’riflanmaydigan va ta’riflanadigan tushunchalarga bo'linadi.

T a ’riflanmaydigan tushunchalar insonning k o ‘p asrlik amaliy-ijodiy faoliyatining natijasi bo‘lib, ular boshlang'ich tushunchalar deb yuritiladi. Bularsiz har qanday nazariyani, jumladan, matematikani fan sifatida aksiomatik tuzish mumkin emas.

Boshlang'ich tushunchalar asosida nazariyaning aksiomalari tuziladi. Aksiomalar isbotlanmaydigan mulohazalar bo‘lib, biri ikkinchisining natijasi sifatida kelib chiqmasligi va biri ikkinchisini- inkor etmasligi zarur. Shuningdek, berilgan nazariyani aksiomatik qurishda uning teoremalarini isbotlash uchun aksiomalar yetarli bo‘lishi zarur.

Amaliyot shuni ko'rsatadiki, bitta nazariya bir necha yo'llar bilan aksiomatik qurilishi mumkin. Bu yo'llar bir-biridan tanlab olingan boshlang'ich tushuncha va munosabatlari, ularga oid aksiomalar sistemasi bilan farqlanadi. Natural sonlar nazariyasi ham bir necha yo'llar bilan aksiomatik qurilgan:

1) to'plam nazariyasi asosida (sanoq sonlar nazariyasi);

2) peano aksiomalari asosida (tartib sonlar nazariyasi);

3) miqdor tushunchasi asosida (miqdor sonlar nazariyasi).

Natural son va nol tushunchasining vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma’lumot. Natural son tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biridir. U butun matematika fani singari kishilar amaliy faoliyatlaridagi ehtiyojlar natijasida vujudga kelgan. Turli-tuman chekli to'plamlarni bir-biri bilan taqqoslash zarurati ham natural sonlarning vujudga kelishiga sabab bo'ldi.

O'zining rivojlanish davrida natural sonlar tushunchasi bir nechta bosqichni o'tdi. Juda qadim zamonlarda chekli to'plamlarni taqqoslash uchun berilgan to'plamlar orasida yoki to'plamlardan biri bilan ikkinchi to'plamning qism to'plami orasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatishgan, ya’ni bu bosqichda kishilar buyumlar to'plamining sanog'ini ularni sanamasdan idrok qilganlar.

Vaqt o'tishi bilan odamlar faqat sonlarni atashni emas, balki ularni belgilashni, shuningdek, ular ustida amallar bajarishni o'rganib oldilar. Qadimgi Hindistonda sonlarni yozishning o'nli sistemasi va nol tushunchasi yaratildi. Asta-sekin natural sonlarning cheksizligi haqidagi tasawurlar hosil bo'la boshladi.

Natural son tushunchasi shakllangandan so'ng sonlar mustaqil obyektlar bo'lib qoldi va ularni matematik obyektlar sifatida o'rganish imkoniyati vujudga keldi. Sonni sonlar ustida amallarni o'rgana boshlagan fan «Arifmetika» nomini oldi. Arifmetika qadimgi Sharq mamlakatlari: Vavilon, Xitoy, Hindiston, Misrda vujudga keldi. Bu mamlakatlarda to‘plangan matematik bilimlar qadimgi Gretsiyada rivojlantirildi va davom ettirildi. Arifmetikaning rivojlanishiga o'rta asrlarda Hind, Arab dunyosi mamlakatlari va O'rta Osiyo matematiklari, XVI11 asrdan boshlab esa Yevropalik olimlar katta hissa qo'shdilar. «Natural son» atamasini birinchi bo'lib rimlik olim A. A. Boetsiy qo'lladi.

Nomanfiy butun son tushunchasi. Nomanfiy butun son￾lar to'plamini to'plamlar nazariyasi asosida qurish XIX asrda G. Kantor tomonidan to'plamlar nazariyasi yaratilgandan so'ng mumkin bo'ldi. Bu nazariya asosida chekli to'plam va o'zaro bir qiymatli moslik tushunchalari yotadi.

1 -t a ’ r i f. Agar A va В to ‘plamlar orasida о ‘zaro bir qiymatli moslik o ‘rnatish mumkin bo'lsa, bu to'plamlar teng quvvatli deyiladi. A ~ В ко ‘rinishda yoziladi.

«Teng quwatlilik» munosabati refleksiv va tranzitiv bo'lgani uchun u ekvivalentlik munosabati bo'ladi va barcha chekli to'plamlarni ekvivalentlik sinflariga ajratadi. Har bir sinfda turli elementli to'plamlar yig'ilgan bo'lib, ularning umumiy xossasi teng quvvatli ekanligidir.

2-t a ’ r i f. Natural son deb, bo ‘sh bo ‘Imagan chekli teng quvvatli to ‘plamlar sinfming umumiy xossasiga aytiladi.

Har bir ekvivalentlik sinfming umumiy xossasini uning biror to‘plami to'la ifodalaydi. Har bir sinf xossasini ifodalovchi natural son alohida belgi bilan belgilanadi. A to‘plam bilan aniqlanadigan a son shu to‘plamning quvvati deyiladi va a = n(A) deb yoziladi.

Masalan, 3 soni uch elementli to'plamlar sinfming umumiy xossasini bildiradi va u bu sinfning istalgan to‘plami bilan aniqlanadi. 3 natural sonini ekvivalent to‘plamlar sinfming^ = {a;

b\ 5}, B = {qizil, sariq, yashil}, C = {□; V; 0} kabi vakillarini ko‘rsatish bilan aniqlash mumkin.

Har bir chekli to‘plamga unga tegishli boimagan biror ele￾mentni q o ‘shib, berilgan to ‘plamga ekvivalent boim agan to'plamni hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirib, o ‘zaro ekvivalent boimagan to'plamlaming cheksiz ketma-ketligini va shu to'plamlar bilan aniqlanadigan 1, 2, 3, ..., n, ... ko'rinishda belgilangan natural sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz. Barcha natural sonlar to'plamini A^= {1; 2; 3; ...} ko'rinishda yozishga kelishamiz.

3-t a ’ r i f. Bo 'sh to ‘plamlar sinfming umumiy xossasiga esa son

0 soni deyiladi, 0 = «(0).

0 soni va barcha natural sonlar birgalikda nomanfiy butun sonlar to'plamini tashkil qiladi. Bu to'plam N 0 ko'rinishida bel￾gilanadi. N q - {0}v N. Bu yerda, N — barcha natural sonlar to'plami.

Nomanfiy butun sonlarni taqqoslash.

Sonlarni taqqoslash qanday nazariy asosda yuz berishini aniqlaylik. Ikkita nomanfiy butun a va b son berilgan boisin hamda ular chekli A va to'plamlar bilan aniqlansin.

4- t a ’ r i f. Agar a va b sonlar teng quvvatli to ‘plamlar bilan aniqlansa, и holda ular teng deyiladi.

a = b<> A ~ B , bu yerda n{A) = a; n(B) = b.

Agar A va to'plamlar teng quvvatli boimasa, u holda ular bilan aniqlanadigan sonlar turlicha boiadi.

5-ta’rif. Agar A to'plam В to'plamning o'z qism to'plamiga teng quvvatli va n{A) = a; n(B) = b bo 'Isa, a son b sondan kichik deyiladi va a < b kabi yoziladi. Xuddi shu vaziyatda b son a sondan katta deyiladi va b > a kabi yoziladi. a < boA ~ B, bu yerda B xc B va B X* B B x* 0 .

Nomanfiy butun sonlar yigindisi, uning mavjudligi va yagonaligi. To'plamlar ustida bajariladigan har bir amalga shu

to'plamlar bilan aniqlanadigan sonlar ustidagi amallar mos keladi. Masalan, o'zaro kesishmaydigan A va to'plamlar birlashmasidan iborat С to'plam A va В to'plamlar bilan aniqlanadigan

a va b nomanfiy butun sonlarning yig'indisi deb ataluvchi с sonni aniqlaydi.

6-t a ’ r i f. Butun nomanfiy a va b sonlarning yig'indisi deb

n{A) = a; n(B) = b bo'lib, kesishmaydigan A va В to'plamlar birlashmasidagi elementlar soniga aytiladi.

a + b = n(AvB), bu yerda n(A) = a; n(B) = b va A a B = 0 .

Berilgan ta’rifdan foydalanib, 5 + 2 = 7 bo'lishini tushuntiramiz. 5 — bu biror A to'plamning elementlari soni, 2 — biror to'plamning elementlari soni, bunda ularning kesishmasi bo'sh to'plam bo'lishi kerak. Masalan, A = {x; y; z, t; p}, В = {a; b} to'plamlarni olamiz. Ularni birlashtiramiz: A v В = {x; y\ z\ t\ p\

a; b}. Sanash yo'li bilan n(AvB) = 7 ekanligini aniqlaymiz.

Demak, 5 + 2 = 7. Umuman, a + b yig'indi n{A) - a, n(B) = b shartni qanoatlantiruvchi kesishmaydigan A va to'plamlaming tanlanishiga bog'liq emas. Bu umumiy da’voni biz isbotsiz qabul qilamiz.

Bundan tashqari, butun nomanfiy sonlar yig'indisi har doim mavjud va yagonadir. Boshqacha aytganda, biz qanday ikkita nomanfiy a va b sonlar olmaylik, ularning yig'indisi — butun nomanfiy с sonni har doim topish mumkin. U berilgan a va b sonlar uchun yagona bo'ladi.

Yig'indining mavjudligi va yagonaligi ikki to'plam birlashmasining mavjudligi va yagonaligidan kelib chiqadi.

Yig'indi ta’rifidan foydalanib, «kichik» munosabatiga boshqacha ta’rif berish mumkin:

7-t a ’ r i f. Va, b G N uchun a = b + с bo'ladigan с son topilsa,

b < a (yoki a > b) deyiladi.

(Va, b G N)(3c E N)(b