To’plam deganda nimani tushunasiz va misollar keltiring

I. n = 1 uchun berilgan A(n) predikatning rostligi tekshiriladi. (Agar n = 1 uchun berilgan A(n) predikat rost bo’lsa, navbatdagi qadamga o’tiladi, aksincha bo’lsa, u holda berilgan predikat barcha n lar uchun yolg’on deb, umumiy xulosa chiqariladi.)
II. n = k uchun A(n) predikat rost deb faraz qilinadi.
III. n = k+1 uchun A(n) predikatning rostligi, ya’ni A(k) A(k + 1) isbotlanadi. Shundan so’ng, A(n) predikat n ning barcha qiymatlarida rost deb umumiy xulosa chiqariladi.
Misollar. a) predikat berilgan bo’lsin. Uni A(n) deb belgilaymiz va barcha natural sonlar uchun rostligini isbot qilamiz.
Isbot. I. n= 1 uchun tekshiramiz, u holda

Demak, n = 1 uchun A(n) predikat rost.
II. n = k uchun 1 + 2 + 3 +... + k = ni, ya’ni A(k) predikatni rost deb faraz qilamiz.
III.n = k + 1 uchun A(k + 1) predikatning rostligini, ya’ni
to’g’riligini isbotlaymiz:

Bu esa A(k + 1) mulohazaning o’zidan iboratdir. Demak, A(n) predikat n ning barcha qiymatlarida rost.
b) ekanligini matematik induksiya metodi yordamida isbotlang.
Yechish. I. n = 1 da l³+21 = l + 2 =
II.n = k da deb faraz qilaylik.
III.n = k + 1 da[(k + 1)³+2(k + 1)] 3 ekanligini isbotlaymiz.
Isbot.
(k + 1)³ + 2(k + 1)=k³+3k² +3k + 1+2k + 2 =
= (k³ + 2k) +(3k² + 3k + 3) = (k³ + 2k) + 3∙(k² + k + 1).
Bu yig’indi 3 ga karrali, chunki birinchi qo’shiluvchi (k³ + 2k) 3 — farazga asosan, ikkinchi qo’shiluvchi 3 ga karrali ekanligi ko’rinib turibdi:
. Demak, bo’ladi.
d) bo’lsa, uni matematik induksiya metodi yordamida isbotlang.
Yechish. I. n=1 da
II.n = k da deb faraz qilaylik,
III.n = k+ 1 da ni isbotlaymiz.
Isbot. (k+ 1)³+11(k+1) = k³ + 3k² + 3k+ 1 + 1k + 11 =(k³ + 12 k) ++(3k² + 3k+ 12) = (k³ + 12k) + 3(k² + k + 4).
Bunda — farazga asosan, [ ] — bu ifodaning 3 ga karrali ekanligi ko’rinib turibdi, (k² + k + 4) ifoda esa 2 ga karrali. Demak, bo’ladi.

112	Ayirish va bo`lishning ta'rifini keltiring.	1-ta’rif. Berilgan a sondan b sonni ayirish deb, b ga qo’shganda a hosil bo’ladigan x sonni topishga aytiladi. Bunda: a — kamayuvchi, b — ayiriluvchi; x — ayirma deb yuritiladi va x = a - b ko’rinishda yoziladi. Ta’rifdan ko’rinadiki, kamayuvchi ayiriluvchi bilan ayirmaning yig’indisidan iborat bo’ladi. Demak, a - b = x a = b + x. Bundan ko’rinadiki, kamayuvchi ayiriluvchidan katta bo’ladi, ya’ni a>b. 2-ta’rif. Ikki ko’paytuvchining ko’paytmasi va bir ko’paytuvchi berilgan holda ikkinchi ko’paytuvchini topish amali bo’lish amali deyiladi. Bunda berilgan ko’paytmani ifodalovchi son — bo’linuvchi, berilgan ko’paytuvchi — bo’luvchi, izlanayotgan ko’paytuvchi — bo’linma deyiladi. Agar a — ko’paytma, b — berilgan ko’paytuvchi, c — izlanayotgan ko’paytuvchi bo’lsa, u bo’lish amali yordamida = c yoki a : b = c ko’rinishda belgilanadi. Ta’rifdan ko’rinadiki, bo’lish amali ko’paytirish amaliga teskari amal ekan.
113	Sonni nolga bo`lish mumkin emasligini tushuntiring.
114	Qoldiqli bo`lish va ularning xossalari.
115	Sanoq sistemasi haqida tushuncha bering.	Insoniyat paydo bo’lib, madaniyat darajasi ancha yuqori bo’lgan davrdan boshlab yozuv paydo bo’lgan. Bunda dastlab nima haqida gap yuritilayotgan bo’lsa, shu narsa yoki tushunchaning tasvirini beradigan rasmlardan foydalanilgan. Keyinchalik rasmlar o’rniga maxsus belgilar va nihoyat asta-sekinlik bilan harflar, so’ng raqamlar paydo bo’lgan. Avvaliga sonlar chiziqchalar yoki tugunchalar yordamida belgilangan. So’ng ko’p miqdordagi belgilarni guruhlash ehtiyoji tug’ilgan. Odamlar qo’llaridagi barmoqlari yordamida sanaganlari uchun belgilar 10 talab, ba’zan 20 talab (oyoq va qo’ldagi barmoqlarning soniga ko’ra) guruhlangan va bu guruhlar alohida belgi bilan belgilangan. Shu tariqa har bir xalqning sonlarni yozish uchun o’z sanoq sistemasi vujudga kelgan. Sanoq sistemasi deb, sonlarni yozish, o’qish va ular ustida amal bajarish usuliga aytiladi.
116	Pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari haqida tushuncha bering.	Sanoq sistemalari tuzilishiga ko’ra, odatda, ikki turli bo’ladi: pozitsion va nopozitsion. Berilgan sonning yozuvidagi belgilar egallagan o’rniga qarab turli xil mamoni anglatsa, bunday sanoq sistemasi pozitsion sanoq sistemasi deyiladi. Masalan, 0, 1,2, ..., 9 dan iborat raqamlar deb ataluvchi belgilar yordamida yozilgan sonlar o’nlik sanoq sistemasida yozilgan sonlar deyiladi va u pozitsion sanoq sistemasidir. Masalan, a) 1101 — bu yerda o’ngdan birinchi o’rinda turgan bitta raqami bitta birlikni bildirsa, 3-o’rinda turgan 1 raqami bitta yuzlikni, 4-o’rinda turgan 1 raqami bitta minglikni anglatadi. Odatdagi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlari yordamida sonlarni yozish hindistonliklar tomonidan joriy qilingan. Shunday sanoq sistemalari ham borki, unda bir xil raqamlar sonning yozuvida qaysi o’rinda joylashishidan qat’iy nazar, doim bir xil ma’noni anglatadi. Bunday sanoq sistemalari nopozitsion sanoq sistemalari deb yuritiladi. Rim sanoq sistemasi nopozitsion sanoq sistemasiga misol bo’ladi. I, II, III, V, X, L, C, D, M kabi belgilar yordamida yozish rimliklar tomonidan kiritilgan bo’lib, sonlar I — bir, II — ikki, IV- to’rt, VI — olti, XI - o’n bir, XL — qirq, XC — to’qson va hokazolar ko’rinishda yozilgan. Masalan, XXXIX — o’ttiz to’qqiz, bunda, X belgi barcha o’rinlarda o’nni, I belgi esa birni anglatadi. Rim sanoq sistemasida kichik qiymat bildiruvchi belgi katta qiymatli belgidan oldin (chapda) yozilsa, sonning qiymati belgilar qiymatlarini ayirib topilgan, agar belgilar qiymatlari chapdan o’ngga kamayib borish tartibida yozilsa, son qiymati belgilarning qiymatlarini qo’shib topilgan. XXIII = 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23. Qadimgi Bobil, Misr, Yunoniston va Rusda ham nopozitsion sanoq sistemalari qo’llangan. Grek va slavyan qadimgi sanoq sistemalarida raqamlar alifbo harflari bilan belgilangan, masalan 1 dan 9 gacha sonlar birinchi 9 ta harf bilan, 100, 200, ..., 900 sonlari esa undan keyingi 9 ta harf bilan belgilangan. Son yozuvini so’zdan farqlash uchun tepasiga belgi — «titlo» qo’yilgan. Masalan, vavilоnlik matеmatik 137 sоnini bunday tasvirlagan : 137=2·60+17. Albatta bu sоn bеlgilar – uchburchaklar va pоnalar bilan yozilgan. Gap shundaki, qadimgi vaviliоnliklar yozish uchun lоyli tablichkalardan uchburchakli pоnalar bоsib chiqarganlar. Kеyin bu tablichkalarni quritganlar va оlоvga tutib kuydirganlar. Sоnlarni yozish uchun pоnalarning hоlatlaridan fоydalanilgan: vеrtikal hоlat – uchi bilan pastga va gоrizоntal hоlat – uchi bilan chapga qaratilgan. Bunda bеlgi bir va оltmishni, bеlgi – o`nlikni bildirgan bоshqa sоnlar bu bеlgilar va qo`shish amali bilan tasvirlangan. Masalan, 6 sоni bunday tasvirlangan: 199 sоni bunday: . Охirgi yozuv sоnining оltmishli sistеmadagi yozuvidir: 60+60+60+10+9=3· 60+19. Birоq qadimgi Vavilоnda paydо bo`lgan sоnlar yozuvi kamchiliklarga ega edi: Unda katta sоnlarni bеlgilash qiyin edi: sanоq sistеmasining asоsini – 60 sоnini bеlgilash uchun maхsus bеlgi yo`q edi, bu esa ba’zi yozuvlarni turlicha o`qishga оlib kеlar edi. Оltmishli sanоq sistеmasining vujudga kеlishida aylanani 360 ta tеng bo`lakka bo`lish, shu bilan birga yilni 360 kunga bo`lish asоs qilib оlingan, dеgan taхmin mavjud. Bu sanоq sistеmasining qоldiqlari shu kungacha saqlanib kеlgan: aylanani 360^о ga bo`lishga yana burchaklarni gradus, minut va sеkundlar bilan o`lchashni ko`rsatish mumkin. Qadimgi misrliklar o`ntalab hisоblaganlar. Ularda maхsus bеlgilar faqat хоnalarni – birlar, o`nlar, yuzlar, minglar va bоshqalarni bеlgilash uchun ishlatilgan. Birdan to`qqizgacha bo`lgan sоnlar tayoqchalar yordamida yozilgan. 1-I, 10- , 100 - , 1000 - 1 Masalan, 132 sоnini misrliklar quyidagicha: 1234 sоnini esa bunday : ko`rinishda ayrim hоlatlarda tеkis qatоr qilib o`ngdan chapga yoki ustun qilib yuqоridan pastga qarab yozilgan. Masalan, 65 sоnini IIIII yoki IIIII ko`rinishda ham yozganlar. Yozuvlar asоsan papiruslarda bo`yoqlar bilan bajarilgan. Ba’zan yozish uchun tоsh, daraхt, tеri, hоlst, sоpоl sinig`idan fоydalanilgan. Nopozitsion sanoq sistemalari katta sonlarni yozish va ular ustida amal bajarish uchun noqulay bo’lgan. Shuning uchun ham matematikada pozitsion sanoq sistemalari muhim o’rin tutadi. Chunki bu sistemada son yozuvida maxsus xona birliklari tushunchasi bor bo’lib, istalgancha katta sonlar bir nechta belgi yordamida yoziladi.
117	O`nli pozitsion sanoq sistеmasini targ`ib qilishda M.Xorazmiyning ro’li	IX asrning buyuk оlimlaridan biri o`zbеk (Хоrazm) matеmatigi Muhammad ibn Musо al-Хоrazmiydir. Uning «Kitоb al-jabr» nоmli kitоbi fanga algеbra nоmini bеrdi. Bu kitоbda arifmеtik masala va tеnglamalarning yеchilish qоidalari bayon qilingan. Al-Хоrazmiy o`zining bоshqa kitоbida Hindistоnda kashf qilingan hind arifmеtikasini, ya’ni o`nli sanоq sistеmasini yoritdi. Uch yuz yil kеyin, ya’ni XII asrda u lоtin tiliga tarjima qilindi va bu kitоb butun Yеvrоpa хalqlari uchun arifmеtikadan birinchi darslik bo`lib qоldi. Natijada Yеvrоpa mamlakatlarida Arab davlatida yashagan muallif yozgan kitоb bo`yicha o`nli sanоq sistеmasi o`rganilgani uchun o`nli sistеmadagi arab raqamlari dеyila bоshlandi. Bu esa nоto`g`ridir. XII asrdan bоshlab Garbiy Yеvrоpada uzоq davоm etgan turg`unlikdan so`ng matеmatikaga qiziqish uyg`оndi, bunga savdо-sоtiqning kеngayishi sabab bo`ldi . Rus fanining rivоjlanishida Lеоntiy Filippоvich Magniskiy tоmоnidan yozilgan «Arifmеtika sirеch nauka chislitеlnaya» kitоbi muhim rоl o`ynadi. Bu kitоb Pyotr I davrida 1703-yilda slavyan tilida nashr qilindi, ammо undagi hamma hisоblashlar o`nli sanоq sistеmasida bajarilgan edi. Bu kitоb uzоq vaqt barcha ilm kishilari uchun eng zarur kitоb bo`lib qоldi, chunki bu kitоbda nafaqat matеmatikaga оid matеriallar, balki astrоnоmiya, navigasiya va bоshqa fanlarning ba’zi bir bo`limlari haqida ma’lumоtlar bоr edi.
118	O’nlik sanoq sistemasida son yozuvi haqida tushuncha bering.	O’nlik sanoq sistemasida xona birliklari o’n, yuz, ming, o’n ming, yuz ming va hokazolar bo’lib, ular 10, 10^2, 10’, 10^4, ... ko’rinishda ifodalanadi va unda har bir xonaning bitta birligi ikkinchi xonadan boshlab o’zidan oldingi xonaning o’nta birligiga teng bo’ladi, ya’ni qo’shni xona birliklari nisbati sanoq sistemasining asosi — 10 ga teng. Sonlar 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan iborat 10 ta belgi yordamida yoziladi va bu belgilar raqamlar deb ataladi. Son yozuvida har bir raqam malum xona birliklari sonini bildiradi. Demak, a natural sonning o’nlik sanoq sistemasidagi yozuvi deb quyidagi yigindiga aytiladi: , bu yerda: an, ...,a1 — 0 dan 9 gacha bo’lgan raqamlar. an≠ 0 deb kelishiladi. Son yozuvini 0 lardan boshlash faqat ma’lum sondagi raqamlardan iborat nomerlashda qo’llanadi, masalan: lotoreya, pasport, avtomobil nomerlarida.