To‘liqlik haqida teorema

3-holning isboti. Agar va formulalar aynan chin bo‘lsa, u holda ham aynan chin formula bo‘ladi.
Isbot. lar va formulalar ifodasiga kiruvchi o‘zgaruvchilar bo‘lsin. -aynan chin bo‘lmagan formula deb faraz qilamiz. U vaqtda o‘zgaruvchilarning shunday qiymatlar satri mavjud bo‘ladiki, bo‘ladi. Bu yerdan = ekanligi kelib chiqadi. Bu natija formulaning aynan chin ekanligiga ziddir. Bu qarama-qarshilik, aynan chin formula ekanligini isbotlaydi.
2-teorema (keltirib chiqarish haqida). -mulohazalar hisobining biror formulasi; - formula ifodasiga kiruvchi o‘zgaruvchilar va -o‘zgaruvchilarning ixtiyoriy qiymatlar satri bo‘lsin. orqali chekli formulalar majmuasini belgilaymiz. Agar

bo‘lsa, u holda formulalar majmuasi uchun:
1) bo‘lgan holda ;
2) bo‘lgan holda
bo‘ladi.
Isbot. Teoremaning isbotini formula tuzilishiga qarab induksiya metodi bilan olib boramiz.
1. formula o‘zgaruvchi bo‘lsin.
a)Agar bo‘lsa, u vaqtda yoki , ya’ni . Demak, .
b)Agar bo‘lsa, u vaqtda yoki , ya’ni . Demak, .
2.Endi faraz qilamizki, va formulalar uchun teorema to‘g‘ri deb qaralgan holda, formula quyidagi to‘rt ko‘rinishning biri bo‘lsin:
I. , II. , III. , IV. .
Har bir holni alohida ko‘rib o‘tamiz.
1. formula ko‘rinishga ega.
a)Agar bo‘lsa, u holda va kelib chiqadi. Bundan qilingan farazimizga ko‘ra va .
Bu yerdan o‘z navbatida kon’yunksiyani kiritish qoidasiga asosan , ya’ni hosil bo‘ladi.
b)Agar bo‘lsa, u vaqtda yoki bo‘ladi. Masalan, deylik, u holda farazga ko‘ra
. (1)
II₁ aksiomaga ko‘ra . Bu yerdan kontrpozitsiya qoidasiga asosan
 (2)
kelib chiqadi.
(1) va (2) formulalardan xulosa qoidasiga binoan ni hosil qilamiz, ya’ni .
II. formula ko‘rinishga ega bo‘lsin.
a)Agar bo‘lsa, u vaqtda hech bo‘lmaganda yoki bo‘ladi. bo‘lsin, u holda farazimizga ko‘ra
(3)
III₃ - aksiomaga asosan esa
(4)
kelib chiqadi.
(3) va (4) formulalardan xulosa qoidasiga asosan ni hosil qilamiz, ya’ni .
b)Agar bo‘lsa, u holda va bo‘ladi. Bu yerdan va kelib chiqadi. O‘z navbatida kon’yunksiyani kiritish qoidasiga asosan
(5)
ga kelinadi.
Isbotlanuvchi formuladan foydalanib
(6)
ni olamiz.
(5) va (6) formulalardan xulosa qoidasiga asosan ni hosil qilamiz, ya’ni .
III. formula ko‘rinishda bo‘lsin.
a)Agar bo‘lsa, yoki , yoki bo‘ladi. Masalan, bo‘lsa, u holda
(7)
ni hosil qilamiz.
Isbotlanuvchi formuladan foydalanib formulani topamiz. Bu formuladan asoslarning o‘rinalmashtirish qoidasiga asosan
(8)
formulani hosil qilamiz.
(7) va (8) formulalardan xulosa qoidasiga binoan formulani yozamiz, ya’ni .
Agar bo‘lsa, u holda
. (9)
I₁ - aksiomadan foydalanib
(10)
formulani keltirib chiqaramiz.
(9) va (10) formulalardan xulosa qoidasiga ko‘ra kelib chiqadi, ya’ni .
b)Agar bo‘lsa, u holda va bo‘ladi. Bu yerdan
, (11)
(12)
ekanligi kelib chiqadi. Isbotlanuvchi formula ta’rifiga asosan
.
Bu formuladan asoslarning o‘rinalmashtirish qoidasiga ko‘ra
(13)
formulani keltirib chiqaramiz.
(11) va (13) formulalardan xulosa qoidasiga binoan
(14)
ni hosil qilamiz, o‘z navbatida undan kontrpozitsiya qoidasini qo‘llab
(15)
formulani keltirib chiqaramiz.
(12) va (15) formulalardan xulosa qoidasiga asosan formulaga ega bo‘lamiz, ya’ni .
IV. formula ko‘rinishga ega bo‘lsin.
a)Agar bo‘lsa, u vaqtda bo‘ladi. Demak, , ya’ni .
b)Agar bo‘lsa, u vaqtda bo‘ladi va bundan
(16)
kelib chiqadi.
IV₂ aksiomadan foydalanib
 . (17)
formulani yozamiz.
(16) va (17) formulalardan xulosa qoidasiga asosan ni, ya’ni ni hosil qilamiz.