To’la differensial tenglamalar

1-Misol. Birinchi tartibli chiziqli tenglama uchun faqat x ning funksiyasidan iborat integrallovchi ko‘paytuvchi mavjudligini isbotlaymiz.
Yechish: Haqiqatan,

birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani simvolik ravishda quyidagicha yozamiz:
.
Oddiy hisoblashdan

kelib chiqadi. Demak, faqat x ga bog‘liq mavjud va uning qiymati (4) dan topiladi:

b) , ya’ni bo‘lsin, unda va (2) ifoda
(6)
ko‘rinishni oladi va (3) dan topamiz:
(7)

6-Misol. tenglama integrallansin.

Yechish:

(6) ni topamiz
.
Demak, berilgan tenglama faqat y ga bog‘liq bo‘lgan integrallovchi ko‘paytuvchiga ega ekan. Bu misol uchun


Berilgan tenglamani ga ko‘paytirsak,

to‘liq differensialli tenglama hosil bo‘ladi.
U holda yoki ,
bu yerdan
Ikkinchi tomondan , ya’ni .
U holda
yoki .
Demak, tenglamaning umumiy integrali ekan, bunda C - ixtiyoriy o‘zgarmas.
s) , ya’ni bo‘lsin, unda va (2) ifoda ushbu ko‘rinishni oladi:
(8)
Demak,
(9)


2-Misol. tenglamani ko‘rinishdagi ko‘paytuvchiga ega ekanligini ko‘rsating.
Yechish:


Demak, berilgan tenglama uchun , ko‘rinishdagi integrallovchi ko‘paytuvchi mavjud ekan u

Dastlabki tenglamani ko‘paytiramiz, bo‘ladi:
.

ravshanki , ya’ni to‘liq differensialli tenglamani hosil qildik. Bu tenglamani x₀=1, y₀=1 olib umumiy integralini topamiz
.
d) , ya’ni bo‘lsin, unda va (2) ifoda quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(10)


(11)