To’g’ri burchak koordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi Egri chiziq yoyining uzunligi

Q   

₂
yoki
1 ²d (1’)
Q  2_[ (f  _i )]
formula bilan topiladi.

Misol. a cos20 lemniskata bilan chegaralangan yuzani toping.

Yechish. Agar  burchak 0 dan ^ gacha o’zgarsa radius-vektor izlanayotgan yuzaning chorak 4
qismiga teng:
 

¹4 ¹2 0^{4 2}d  ¹2a²0⁴cos20d

Q 



a² sin20 ⁴ a²
 
2 2 ₀ 4
Demak,Q a ² .
3. Egri chiziq yoyini uzunligi
1.To’g’ri burchakli koordinatalarda egri chiziq yoyining uzunligi. Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalarda egri chiziq y  f x( ) tenglama bilan berilgan bo’lsin.
Bu egri chiziqning x a va x b vertical to’g’ri chiziqlar orasida joylashgan AB yoyining uzunligini topamiz.

AB yoydan A M M, ₁, ₂,...,M_i,...,B nuqtalarni olamiz, bu nuqtalarning absissalari x a x x₀  , _{1 2}, ,...,x_i,...,b x _n bo’lsin. AM MM₁, _{1 2},...,M B_n1 vatarlarni o’tkazamiz va bu vatarlarning uzunliklarini mos ravishda  s s₁, ₂,...,s_n bilan belgilaymiz. Bu holda AB yoyga ichki chizilgan
n
AMM M B_{1 2}... _n1 siniq chiziqqa ega bo’lamiz. Siniq chiziqning uzunligi s_n   s_i ga teng.
i1
AB yoyning s uzunligi deb
n
s lim i  si (1)
max s 0
i 1
limitga aytiladi. Yuqoridagi kabi mulohazalarni takrorlab topamiz:
b

s  1[ f '( )]x ²dx
a
yoki
b
dy ²dx (2)

sa 1 [ _dx]
Misol 1. x²  y²  r² aylana uzunligini toping.
Yechish. Avval aylana chorak qismining uzunligini topamiz. Bu holda AB quyidagicha:
y r2 x2 , bu yerdan dy  x
dx r2 x2
Demak,

1 s^rdx^r _r2r_x2dx r arcsin _rx |rr₂
0 ₄ 00
Butun aylananing uzunligi s 2r ga teng.
Endi egri chiziq parametric ko’rinishida
x ( )t y, ( )t ( t )
berilganda yoy uzunlikligini topamiz, bu yerda ( )t va ( )t - hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan uzluksiz funksiyalar, bunda '( )t berilgan uchastkada nolga teng emas. Bu holda yoy uzunligi

s  [ '( )]t ² [ '( )]t ²dt (5)

formula bilan topiladi.
Misol 2. x acos ,³t y asin³t giposikloidning uzunliklarini toping.
Yechish. Egri chiziq ikkala koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun avval birinchi chorakda qismining uzunligini topib olamiz:

^dx  ²tsin ,t ^dy _3asin²tcost 3acos
dt dt
t parametr 0 dan ^ gacha o’zgaradi.
2
Demak,
  22

s  9a² cos⁴tsin²t 9a²sin⁴tcos²tdt  3a sin²tcos²tdt 
0 0



 3a^02 sin22t 2 32a sin cost tdt  3a |0 s  6a
x   ( )t y,  ( )t z,  ( )t (6)
parametrik ko’rinishida berilgan fazoviy egri chiziqning   t bo’lgandagi uzunligi

s  ['( )]t ² ['( )]t ² ['( )]t ²dt (7)

Misol 3. x acos ,t y asin ,t z amt vint chiziqning t 0 dan 2gacha o’zgargandagi yoyi uzunligini toping. Yechish.
dx asintdt dy, acostdt dz, amdt
(7) formulaga qo’yib, topamiz:



s  a²sin²t a²cos²t a m dt^{2 2}  a 1m dt²  2a 1m²

 

Qutb koordinatalarida berilgan egri chiziq yoyining uzunlgi. Egri chiziq
  f ( ) (8)
qutb koordinatalarda berilgan bo’lsin, bu yerda - qutb radiusi,  - qutb burchagi.

(8) egri chiziqning qutb burchagi ₁ dan ₂ gacha o’zgargandagi yoyining uzunligi

1

s   '² ²d
0
formula bilan topiladi.
Misol 4.  a(1 cos) koordinataning uzunligini toping.

Yechish.  qutb burchagi 0 dan gacha o’zgarganda chiziqning yarmini olamiz. Bu yerda
' asin Demak,


s ² a²(1 cos²) a² sin²d  2^a 2  2cosd 
0 0
 4a^cos^ ₂ d 8asin^ ₂ |^₀ 8a
0

4.Aniq integrallarni taqribiy hisoblash

Ma’lumki, [ab, ] intervalda uzluksiz bo’lgan har qanday y  f x( ) funksiya shu intervalda boshlang’ichga ega, ya’ni F x'( )  f x( ) tenglikni qanoatlantiradigan F x( ) funksiya mavjuda. Ammo har qanday boshlang’ich funksiya, hattoki u mavjud bo’lgan holda ham, elementar funksiyalar orqali chekli ko’rinishda ifodalanmaydi. Bunday hollarda aniq integrallarni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash ancha mushkul ish va aniq integralni hisoblashning turli taqribiy usullar qo’llaniladi. Hozir biz taqribiy integralning bir necha usullarini keltiramiz.
I.To’g’ri to’rtburchaklar formulasi [ab, ] kesmada uzluksiz y  f x( ) funksiya berilgan bo’lsin. Ushbu
b
 f x dx( )

1. 
   aniq integralni hisoblash talab etiladi.
   

[ab, ] kesmani a  x x x_{0 1 2}, , ,...,x_n b nuqtalar yordamida uzlukligi x bo’lgan nta teng qismlarga bo’lamiz:

2. 
   a^
   

 x
n
y y y_{0 1}, , ₂,..., y_n1, y_n bilan f x( ) funksiyaning x x x_{0 1 2}, , ,...,x_n nuqtalardagi qiymatlarini belgilaymiz:
y₀  f x( ₀), y₁  f x( ₁),..., y_n  f x( _n)
Endi
y₀    x y x₁ ... y_n1x y x₁     y₂ x ... y_n x
yig’indilarni tuzamiz.
Bu yig’indilardan har biri f x( ) funksiya uchun [ab, ] kesmada integral yig’indi bo’ladi va shuning uchun
b
ba
^ f x dx( )  _n y₀    y₁ y₂ ... y_n1 (1)

1. 
   b
   

a f x dx( )  b^_n^ay₁   y₂ ... y_n (1’)
Mana shu to’g’ri to’rtburchaklar formulasidir. Rasmdan ko’rinib turibdiki, agar f x( ) - musbat va o’suvchi funksiya bo’lsa, u holda (1) formula ichlaridan to’g’ri to’rtburchaklardan tuzilgan zinasimon figuraning yuzasini ifodalaydi. (1’) formula esa tashqariga chiqib turgan zinasimon figurani yuzasini ifodalaydi.

2. 
   a^
   

n soni qanchalik kata bo’lsa, (ya’ni  ^x bo’lishi qadami qanchalik kichik bo’lsa) integralni to’g’ri to’rtburchaklar n
formulasi yordamida hisoblashdagi hatolik shunchalik kam bo’ladi.

II.Trapetsiyalar formulasi. Agar berilgan y  f x( ) egri chiziq o’rniga zinasimon funksiyani emas, balki ichki chizilgan aniq chiziqni olsak (2-rasm) biz aniq integralning yanayam aniqroq qiymatini olamiz. Bu holda aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi o’rniga yuqoridan AA AA A B₁, _{1 2},..., _n1 vatarlar bilan chegralangan to’g’ri chiziqli y y trapetsiyalar yuzalarining yig’indisini olamiz. Bu trapetsiyalardan birinchisining yuzasi x ga
y y^
ikkinchisiniki x g ava v.h.zga teng bo’lganligi uchun
b
 f x dx( )  y0 2 y1  x y1 2 y2   x ... yn12 yn x
a
yoki
b
^ f x dx( )  bna_ y0 2 y1  y1  y2  ... yn1_ (2)
a
Bu trapetsiyalar formulasidir. (2) formulaning o’ng tomonida turgan son (1) va (1’) formulalarning o’ng tomonlarida turgan sonlarning o’rta arifmetigidir. n soni ixtiyoriy tanlanadi. Bu son qanchalik kata bo’lsa, demakki,  x b^a qadam shunchalik kichik bo’ladi, n
(2) taqribiy tenglikning o’ng tomonida turgan yig’indi integralning qiymatini shunchalik aniq beradi.
III.Parabolalar formulasi (Simpson formulasi). [ab, ] kesmani juft sondagi n m 2 teng bo’laklarga bo’lamiz. Dastlabki ikkita [x x_{0 1}, ] va [x x_{1 2}, ] kesmalarga mos kelgan va berilgan y  f x( ) egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini M x y M x y M x y( ₀, ₀), _{1 1 1}( , ), ₂( ₂, ₂) uchta nuqtalar bilan chegaralangan va Oy o’qqa parallel o’qqa ega bo’lgan egri chiziqli trapetsiya yuzasi bilan almshtiramiz. Bunday egri chiziqli trapetsiya parabolic trapetsiya deyiladi.
O’qi Oy o’qqa parallel bo’lgan parabolaning tenglamasi
y Ax ²  Bx C
ko’rinishida bo’ladi.
ABC, , koeffitsientlar parabolaning berilgan uchta nuqtalardan o’tish shartidan topiladi. Kesmalarning boshqa juftlari uchun ham shunga o’xshagan parabolalarni quramiz. Parabolic trapetsiyalar yuzalarining yig’indisi integralning taqribiy qiymatini beradi.
Avvalo bitta parabolik trapetsiyaning yuzasini hisoblaymiz.
Avvalo bitta parabolik trapetsiyaning yuzasini hisoblaymiz. Lemma. Agar egri chiziqli trapetsiya
y Ax ²  Bx C
parabola, Ox o’q va oralaridagi masofalari 2h bo’lgan ikkita ordinatalar bilan chegaralangan bo’lsa, u holda uning yuzasi h
S  y₀ 4y₁  y₂ (3)
3
Bu yerda y₀ va y₂ - chetki ordinatalar, y₁-egri chiziqning kesma o’rtasidagi ordinatasi.

Isbot. Yordamchi koordinatalar sistemasini rasmda ko’rasatilgandan joylashtiramiz. y Ax ²  Bx C parabola tenglamasidagi koeffitsientlar quyidagi tenglamalardan topiladi:
Agar x₀ h bo’lsa y₀  Ah²  Bh C
Agar x₁ 0 bo’lsa y C₁  (4)
Agar x h₂  bo’lsa y  Ah²  Bh C
ABC, , koeffitsientlarni ma’lum deb hisoblab, parabolic trapetsiyaning yuzasini aniq integral yordamida topamiz:
Ax

S ^h Ax² Bx C dx   ₃3  Bx₂2 Cxhh  h₃(2Ah2 6 )C

h _
Ammo (4) tenglikdan
y₀ 4y₁  y₂ 2Ah² 6C
Kelib chiqadi. Shunday qilib
h ² 6 )C
S  (2Ah 
3
Shuni isbotlash talab etilgan edi.
Endi o’zimizning asosiy masalamizga qaytamiz. (3) formuladan foydalanib, biz quyidagi taqribiy tengliklarni yozishimiz mumkin (h x):
x₂ ^ f x dx( )  ^₃^x(y₀  4y₁  y₂)
a x 0 x₄
^ f x dx( )  ^₃^x(y₂  4y₃  y₄)
x2
................................................. x₂mb
 f x dx( )  3x(y2 2m  4y2 1m  y2m)
x2m2
Chap va o’ng tomonlarni yig’ib, chap tomonda izlanayotgan integralni chap tomonda esa uning taqribiy qiymatini topamiz:
b
 f x dx( )  3x(y0  4y1  2y2  4y3 ... (5)
a
... 2y2 2m  4y2 1m  y2m)
yoki
b
 f x dx( )  b6ma(y0  y2m  2[y2   y4 ... 2y2 2m ]
a
4[y₁   y₃ ... y_{2 1m} ])
Bu Simpson formulasidir. Bu yerda 2m bo’linishlar soni ixtiyoriy, ammo bu son qanchalik kata bo’lsa, (5)ning o’ng tomonidagi yig’indi integralning qiymatini shunchalik aniq beradi.
Misol. Taqribiy hisoblang: 2
dx
ln2 ^1 _x
Yechish. [1,2] kesmani 10ta teng bo’laklarga bo’lamiz.
 x  0.1
deb olib, integral ostidagi funksiyaning qiymatlari jadvalini tuzamiz:

x	y1/ x	x	y1/ x
x0 1,0 x1 1,1 x2 1,2 x3 1,3 x4 1,4 x5 1,5	y0 1,00000 y1  0,90909 y2  0,83333 y3  0,76923 y4  0,71429 y5  0,66667	x6 1,6 x7 1,7 x8 1,8 x9 1,9 x10  2,0	y6  0,62500 y7  0,58824 y8  0,55556 y9  0,52632 y10  0,50000

1.To’g’ri to’rtburchaklar (1) formulasi bo’yicha topamiz: 2
dx
^ x  0,1(y₀  y₁ ... y₉)  0,1 7,18773  0,71877
1
To’g’ri to’rtburchaklar (1’) formulasi bo’yicha 2
dx
^1 x  0,1(y y₁  ₂ ... y₁₀)  0,1 6,68773  0,66877
Rasmdan bevosita kelib chiqadiki, bu holda birinchi formula integralning qiymatini ortig’i bilan, ikkinchisi esa kami bilan beradi.
II.Trapetsiyalar (2) formulasi bo’yicha 2
dx 1 0,5
^ x  0,1( 2  6,18773)  0,69377
1
III.Simpson (5) formulasi bo’yicha 2
dx 0,1

^ _x  ₃ [y₀  y₁₀  2(y₂  y₄  y₆  y₈)  4(y₁  y₃  y₅  y₇  y₉)]
₁
 (1 0,5 2 2,72818  4 3,45955)  0,69315
2
dx
Aslida ln2 ^1 _x  0,6931472 (7xona aniqlikda).
Shunday qilib [1,2] kesmani teng 10ta qismlarga bo’lganda Simpson formulasi bo’yicha 5ta ishonchli raqamlarni; trapetsiyalar formulasi bo’yicha 3ta ishonchli raqamlarni; to’g’ri to’rtburchaklar formulasi bo’yicha faqat 1ta ishonchli raqam oldik.