The four-color problem

parts of a common boundary line have a different color - they may be desirable

---

four colors, but no more. The request cannot be satisfied for five
or more colors ...... If you mind this simple case,
Which makes me a stupid animal, I think I should do this
just like the sphinx... " [5]
De Morgan's self-deprecating humor at the end of the letter
highlights the overwhelming embarrassment that is consistent with the former
impressions of the four-color theory. Despite this, the problem of four

---

kraskakh spread very quickly among mathematicians.
6
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lochinbek-pardaev ([e-mail])
But at first solid mathematicians took the problem as an obvious one
a fact that doesn't require proof.
Approximately three decades after the first discovery of the
an observation about four colors was proposed, and the author provided assistance in 
solving the problem.
Arthur Cayley. Stunned by the unsolved nature of this apparent
Simple challenge, kayleigh while attending a London Council meeting
The mathematical society in the middle of the meeting asked everyone
let's see if anyone has found a solution. No one suggested it
after trying, not to mention deciding, Kaylee continued trying
solve the problem.
Less than a year later, in 1879, Cayley returned with the publication,
submitted to the Royal Geographical Society (On map coloring).
Not having the right solution, he nevertheless resolutely pushed the issue forward.
search by identifying your shortcomings and trying to rethink the task. One of the
these productive shifts in perspective stem from his question: "what
if a particular map has already been successfully colored with four colors, and we have
let's add another area, can we keep the same coloring?»
In fact, the reverse query, it helped to start a different solution path.
theorems.
However, already in 1879, in the first volume of the "Proceedings of the Royal Society".
geographical Society" has published an article by an outstanding
British mathematician A. Kempe, which contained the assumption that
the fact that you must meet all the necessary conditions when coloring any page.
It is possible to create a map using only 4 colors. This is
the author of the article proved this assumption quite significantly by applying
impressive arguments and calculations.
The core of Kempe's theorem was based on the proved theorem,
now generally accepted graph theory and a completely original method.
The essence of Kempe's theorem revolved around the proven fact that for every
a planar graph must have a vertex with degree less than six. Based on
7
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lochinbek-pardaev ([e-mail])
of this postulate, Kempe's proof consisted in cleaning up or correcting
subgraphs of maps by deleting vertices with four vertices or less.
After all minor (less than four vertices) subgraphs have been
fixed, Kempe's proof consisted of coloring and revealing
subgraphs until the original graph remains. The main trick in its
his greatest contribution to the solution of the four-point theorem

---

coloring was his method of coloring the remaining subgraphs, which he invented.
Instead of using all four colors, Kempe noticed that for
many, though not all, adjacent graphs need only two colors.
The main method of Kemp's theorem was based on an inventive method,

---

called the Kempe chain. A Kempe chain is a" chain " of vertices,
painted with two alternating colors. The chain shows which ones
vertexes are colored with alternating colors; however, it provides
information about which vertexes can't join the current one
the chain. These chains served as the basis for Kempe's proof of the theorem
about the four colors: they fixed small subgraphs and then colored them

---

the remaining mappings are Kempe chains. For a long time at least,
For a decade, Kempe was thought to have successfully solved the four-color theorem.
Having received great recognition, he was elected a fellow of the Royal Society,
He served as its treasurer and was soon knighted.
Since mathematicians prefer precision, there has been a heated argument between them

---

disputes over the proved theorem. Some tried to prove the theorem,
others can be refuted. In the course of these disputes, by the end of the 19th century, 
there were
it is proved that the simplest map can be colored using three colors,
and the most difficult one is five colors. However, the case with the use of exactly 4 
colors
he remained a mystery. Figure 1 shows a colorized map of Russia.

---

four colors.
8
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lochinbek-pardaev ([e-mail])
Figure 1-Map of Russia
Unfortunately, as history shows, Kempe's proof was
really wrong. The four-color theorem returned in 1890 with
a publication presented by a lecturer in Durnham, England, named Percy
John XIX stolywood. He showed that Kempe's proof was incorrect, however
I couldn't fix the error myself. The flaw in the theorem was hidden in plain sight.
Ten years on, though, the 19th century stolywood ignited a race to prove
the four-color theorem.
The proof of the "trailblazer" Alfred Kempe was also
It was refuted in 1880 by Peter Tait, whose proof was so great that
The same statement was successfully refuted in 1891 after many unsuccessful attempts
to prove the hypothesis for any number of countries, mathematicians decided to prove it,
starting with small natural numbers.
First, George David Birkhoff, one of the first prominent
mathematicians of America, contributed by restricting Kempe's theorem to
finding some large reducible configurations. From there Philip
9
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lochinbek-pardaev ([e-mail])
Franklin, a mathematician at the Massachusetts Institute of Technology,
extended Birkhoff's work to prove that the four-color theorem
valid for all graphs with 25 or more vertices. What followed
from the 1910s to the 1950s, there were a number of collaborative efforts to
proof of the theorem for graphs with higher vertices;
slowly approaching the general proof.
By 1968, any counterexample to the four-color theorem must have
must have at least 4 vertexes. As the number of countries increases, an avalanche is 
occurring
the number of different variants of their mutual arrangement is also growing, and the 
number of
map coloring options. The problem was becoming completely impregnable.
Honored Russian Mathematician and Engineer, Professor Vyacheslav
Afanasievich Gorbatov, in his book published in 1964, offered his own
classical proof of the four-color theory, which took about 30 minutes
pages. But, for unknown reasons, it went unnoticed and did not work.
there were no confirmations or denials.
In April 1975, Martin Gardner, editor of the Scientific American, wrote in an article
"6 sensational discoveries" publishes the following information:
"Recently, the biggest sensation in the field of clean energy
mathematics was the discovery of a counterexample to the famous problem of 4 colors.

---

I would like to remind you that this problem was caused by the hypothesis that any flat 
surface
the map can be "correctly colored" using only 4 colors [4]. At the same time
a color scheme is considered "correct" if any 2 areas,

---

border areas are painted with different colors. After
after many years of research, this hypothesis has become an example of the statement,
undecidable according to Godel. However, in November 1974, a specialist in the theory 
of
count U. McGregor is a professor at the University of Wappingers Falls, Texas.
New York City), managed to build a map of 100 areas, which you can colorize

---

it is not possible to use less than 5 colors correctly. Article about this discovery
It was published in the 1973 issue of JournalofCombinatorialTheory, Series B"
10
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: lochinbek-pardaev ([e-mail])
Despite the outright confusion, the material about this "discovery"
caused a strong reaction from readers. The drawing shown in the article is readers
they enthusiastically painted "correctly", sparing no effort or time for this.
The climax was the notice of a claim for 25 million rubles. dollars from the reader,
who has spent more than 25 years solving the four-color problem and has
the publication caused a severe nervous breakdown and stroke...
As a result, both the magazine article itself and the multi-million dollar bill
the lawsuit turned out to be an April Fool's prank. However, mathematicians
they did not consider the problem exhausted. Moreover, look for a solution
it became even more interesting, because scientists now have computers at their disposal!
Kenneth Appel, mathematician and computer science Professor
programming at the University of Illinois, together with Wolfgang
XIX stolaken was able to complete the proof. In the summer of 1976, after
several hundred pages of detailed study and more than 1200 hours of work on
on a powerful computer, the four-color conquest finally stopped.
Kenneth Appel and Wolfgang XIX Stolaken used a computer to create 1936 maps, 
including
one of which could not refute the validity of the theory. Proof
it took hundreds of pages. On its basis, scientists argued that
there can be no counterexample to this theorem!
The idea of their proof was as follows: first we prove
ability to color maps with the number of n countries,