The Foundations: Logic and Proofs 20. Determine whether these are valid arguments a

Fermat’s last theorem
.
THEOREM 1
FERMAT’S LAST THEOREM
The equation
x
n
+
y
n
=
z
n
has no solutions in integers
x
,
y
, and
z
with
xyz
=
0 whenever
n
is an integer with
n >
2.
Remark:
The equation
x
2
+
y
2
=
z
2
has infinitely many solutions in integers
x
,
y
, and
z
; these
solutions are called Pythagorean triples and correspond to the lengths of the sides of right
triangles with integer lengths. See Exercise 32.
This problem has a fascinating history. In the seventeenth century, Fermat jotted in the
margin of his copy of the works of Diophantus that he had a “wondrous proof” that there are no
integer solutions of
x
n
+
y
n
=
z
n
when
n
is an integer greater than 2 with
xyz
=
0. However,
he never published a proof (Fermat published almost nothing), and no proof could be found in
the papers he left when he died. Mathematicians looked for a proof for three centuries without
success, although many people were convinced that a relatively simple proof could be found.
(Proofs of special cases were found, such as the proof of the case when
n
=
3 by Euler and the
proof of the
n
=
4 case by Fermat himself.) Over the years, several established mathematicians
thought that they had proved this theorem. In the nineteenth century, one of these failed attempts
led to the development of the part of number theory called algebraic number theory. A correct

---

1.8 Proof Methods and Strategy
107
proof, requiring hundreds of pages of advanced mathematics, was not found until the 1990s,
when Andrew Wiles used recently developed ideas from a sophisticated area of number theory
called the theory of elliptic curves to prove Fermat’s last theorem. Wiles’s quest to find a
proof of Fermat’s last theorem using this powerful theory, described in a program in the
Nova
series on public television, took close to ten years! Moreover, his proof was based on major
contributions of many mathematicians. (The interested reader should consult [Ro10] for more
information about Fermat’s last theorem and for additional references concerning this problem
and its resolution.)
We now state an open problem that is simple to describe, but that seems quite difficult to
resolve.