Termodinamika va statistik fizika

ning  fluktuatsiyaga  duchor  bo'lishi  va  uning  hajmini  V,  V  +   dV
 
hajm   intervalida  bo'lish  ehtimolligini  beradi:
dWv  =   C
2
 exp
f  (AV
)2
 
( d p )
[
 
2 
kT
  \ 3 v !
dV. 
(7.17)
Bu  yerda 
C l  va  C
2
  doimiylar  normirovka  shartlari
JdWT  =  
1
  va  JdWv  =  
1
 
(7.18)
dan  topiladi.  O'zgarmaslarni  hisoblab,  o'rinlariga  qo'yish  natija­
sida  quyidagi  ifodalarni  olamiz:
( 7л9)
271

---

dwv =  / - Ч & )   exp { - < * £ ( & )
 
v  
\2-xkT
  l a v  
)T 
2kT
  \3V/
dV.
(7.20)
(7.19)  va  (7.20)  ifodalar yordamida  temperatura va  hajmning  kvad-
 
ratik  o'rtacha  fluktuatsiyalari  uchun quyidagi  ifodalarni  olamiz:
(AT)'
2
  _  
kT_ 
Cv
(AV
)2
  =  -
kT
дрЛ
dvjr
(7.21)
(7.22)
Bu  ifodalardan,  xususan,  (7.16)  dan  Cv  >  0  va  /^Е.)  <  о  ekan-
\W}T
liklari  kelib  chiqadi.  Bu  tengsizliklar  bir  jinsli  termodinamik
 
sistemalar  barqarorligining  yetarli  shartini  beradi.
(7.20)  va  (7.22)  formulalar 
=  0  bo'lgan  hoi  uchun  o'z
\oV 
Jy
kuchini  yo'qotadi.  Buning  sababi  ichki  energiyani  fluktuatsiya-
 
larning  funksiyasi  deb qatorga  yoyganimizda 
AS  va AV bo'yicha
kvadratik  hadlarni  saqlab  qolgan  edik.  A gar  (|^-J  =   0  bo'lsa,
\dV 
Jr
qatorda
a v 2 J,
0  bo'lishi  kerak.  Bu  hoi  esa  bir-biriga  ziddir.
Demak,  birinchi  va  ikkinchi  tartibli  hosilalar  bir  vaqtda  nolga
 
teng  bo'lishi  kerak.  Bu  shart  kritik  nuqta  holatini  aniqlaydi.
 
Kritik  nuqtada  fluktuatsiyalar  haqiqatan  ham  juda  katta  bo'­
ladi.  Masalan,  suyuqliklarning  qaynash  kritik  nuqtasida  yorug'-
 
likning  kuchli  sochilishi  yuzaga  keladi  va  suyuqlik  tiniqligini
 
yo'qotadi.  Bu  kritik  opolessensiya  deb  yuritiladi.
II. 
O'zaro  bog'lanmagan  o'zgaruvchilar  sifatida  p  va 
S   ni 
olaylik.  U  holda
a v
dP  is
ДУ  =  | ^ |   Ap + ( g )   4 S ,
(7.23)
272

---

Bu  ifodalarni  (7.12)  ga  q o 'yish   natijasida
dW  =  С exp
I—  ( -
[2 fc T \ 3 p
) „ (ЛР)
2
_
2
^
(А 5)2^ Л- 
(7'25)
Bu  esa  bir  vaqtda  bosim  fluktuatsiya  ehtimolligini  p,  p  +  dp
 
intervalda,  entropiya  fluktuatsiya  ehtimolligini 
S,  S   +  d S   inter- 
valida  topish  ehtimolligini  beradi.  (7.25)  dan:
dW  = C 3 exp  -
2kT
3V
Эр
js
(Др
)2
  fdp,
(7.26)
dW
5
  =   C
4
 exp 
\ 
(AS)  f d S
2kC
(7.27)
va 
ASAp  =  0  ifodalarni  olamiz.  C
3
  va  C
4
  doimiylar  normirovka
 
shartlaridan  topiladi:
Сз 
^2тг
kT
 
( 
Эр 
)у  ’ 
° 4 
\J
2тгкСр  ■
С
3
  va  С
4
  doimiyliklarni  (7.26)  va  (7.27)  ifodalarga  qo'yish
 
natijasida  bosim  va  entropiyaning  fluktuatsiyaga  duchor  bo'lish
 
ehtimolliklarini  olamiz:
dW  =  —i—
p 
V 2 t
ткТ
av
Эр 
,s
A p  
2
kT
dw' = ^
exp{ - ^ } d5'
•dp, 
(7.28)
(7.29)
Bu  ifodalardan  entropiya  va  bosimning  kvadratik  o'rtach a
 
fluktuatsiyalari  uchun  ifodalarni  olamiz:
< 7 s f   -  
k c r ,  (A r f   =  - w ( | £ ) s . 
(7.30)
III. 
Berilgan  hajmdagi  zarralar  soni  fluktuatsiyasini  topaylik.
 
Bitta  zarraga  to‘g ‘ri  kelgan  hajm 
V /N   ning  kvadratik  o'rtacha 
fluktuatsiyasi 
(N  =  const):
18  -   A.A. Abdum alikov,  R. M am atqulov
273

---

Endi  V  =  const  deb  shu  hajmdagi  zarralar  soni  fluktuatsiyasini
 
qarab  chiqayiik:
( ^ г ?  =  4 ( д 1 у   =  - 4
V -l 
Ni 
Л
'kT 
(7.31)
Ideal  gaz  holi  uchun  zarralar  sonining  kvadratik  o'rtach a
 
fluktuatsiyasi 
{A N f  =  N  bo'ladi.  Bu  esa  ideal  gazda  zarra 
fluktuatsiyasining  tem peraturaga  bog'liq  emasligi,  ideal  gaz
 
zarralarm ing  bir-biriga  bog'lanmaganligidadir.  Ideal  gazda
 
temperatura oshishi faqat kvadratik o'rtacha tezlikning oshishiga
 
olib  keladi.
IV.  Zichlikning  kvadratik  o'rtacha  fluktuatsiyasi:
(A pt  =  ( Л = ) !  -  £ ( A V f   =  /  73f T   = 
£  7 „  
(7.32)
 
zichlikning  nisbiy  fluktuatsiyasi:
Эр)
o v j,
Ap  f  
kT 
F 
1
  ”  
-
7
T. 
(7.33)
P
V
Bu  yerda 
j T  —  V ^ ~ j ^   -   izotermik  siqiluvchanlik.
V. 
Endi  Gibbs  kanonik  taqsimoti  o'rinli  bo'lgan  term ostatda
 
yotgan  sistemada  energiya  fluktuatsiyasini  ko'raylik.  Energiya-
 
ning  kvadratik  o'rtacha  fluktuatsiyasi:

---

bu  yerda
1  V p  
/ 
Я,  \ n /  
jp  ,
 
1
 
(   d z   }
  _  
0
2  / d z \
B - j l f i .  
p (   й")  ^  f)  -  
2
  Г П  
-   Z  l » L   '
v T S J .
Bu  ifodalarni  (7.36)  ga  qo!yish  natijasida  quyidagi  ifodani
olamiz:
(Д Ё ?  =   0 * (— ) 
= k T 2Cv. 
(7-3 5 )
\ 
дО l
 у
Energiya ning  nisbiy  fluktuatsiyasi