Termiz davlat universiteti fizika-matematika fakulteti algebra va geometriya kafedrasi

Lemma isbotlandi.
Isbotlangan lemmadan ikkala ta’rifning teng kuchli ekanligi kelib chiqadi.
Endi 1A₂,...,A_p> to’plamning qavariq ekanligini ko’rsatamiz. A va B shu to’plamning ixtiyoriy nuqtalari bo’lsin.
A=S₁A₁+S₂A₂+...+S_pA_p,
B=t₁A₁+t₂A₂+...+t_pA_p.
Bunda
S₁,...,S_p 0 , t₁,...,t_p 0
S₁+...+S_p=t₁+...+t_p=1 (3)
AB kesmadagi ixtiyoriy C nuqtani
C=SA+tB, S,t 0, S+t=1 (4)
ko’rinishida yozish mumkin. Bundan
C=S(S₁A₁+...+S_pA_p) + t(t₁A₁+...+t_pA_p)=(SS₁+tt₁)A₁+...+(SS_p+tt_p)A_p
Bu yerda (3) va (4) ga asosan A₁,...,A_p lar oldidagi koefitsentlar manfiy emas va ularning yig’indisi 1ga teng. Bu esa C∈1,A₂,...,A_p> ekanligini ya’ni 1,A₂,...,A_p> to’plamning qavariq ekanligini ko’rsatadi.
Shuning bilan birga 1,A₂,...,A_p> to’plam berilgan A₁,...,A_p nuqtalar tegishli bo’lgan qavariq to’plamlar orasida eng kichigidir. Bu tasdiq isbotlangan lemma va qavariq to’plam ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.

1.3-§. Bir jinsli chiziqli tengsizliklar sistemasi yechimlarining qavariq konusi
Chegaraviy tekisliklari ularning umumiy nuqtasidan o’tuvchi chekli sondagi yarim fazolarning kesishidan hosil bo’lgan figurada qavariq ko’pyoqli konus deyiladi. Bu umumiy nuqtaga konusning uchi deyiladi.
Avvalo qavariq ko’pyoqli konus bilan chiziqli tengsizliklar sistemasi orasida qanday bog’lanish borligini aniqlaymiz.
Biz konusning uchi koordinatalari boshi bo’lgan hol bilan chegaralanamiz. Koordinatalar boshidan o’tuvchi tekislik tenglamasi ax+by+cz=0 dan iborat, demak bu holda qavariq ko’pyoqli konus yuqorida qarab chiqilganlarga asosan biror bir jinsli chiziqli tengsizliklar sistemasi:

ning yechimlari sohasidan iborat bo’ladi.
Tushunarliki bu tasdiqning teskarisi ham o’rinli, ya’ni bir jinsli chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimlari sohasi doimo uchi koordinatalar boshida bo’lgan qavariq ko’pyoqli konusni ifodalaydi.
Quyidagilar qavariq ko’pyoqli konusga misol bo’ladi.
1.Fazodagi S uchli ko’pyoqli burchak (27-shakl)
2.Yarimfazo. Bunday “konus”ning uchi sifatida π tekislikda yotuvchi ixtiyoriy S nuqtani olish mumkin.

3.Chegara tekisliklari bitta l to’g’ri chiziqda kesishuvchi yarim fazolar kesishmasi. Bunda konusning uchi vazifasini l da yotuvchi ixtiyoriy S nuqta o’taydi.(28b-shakl)
4.Tekislik. Tushunarliki fazodagi har bir tekislik π ni 2 ta yarim fazoning kesishmasi deb qarash mumkin. Bunda konusning uchi sifatida ixtiyoriy S€π nuqtani olish mumkin.(28b-shakl)
5.Yarim tekislik. Bunda konusning uchi sifatida chegaradagi to’g’ri chiziqda yotuvchi ixtiyoriy S nuqtani olish mumkin.(28d-shakl)
6.To’g’ri chiziq. Fazoda har bir to’g’ri chiziqni chegara tekisliklari l dan o’tuvchi uchta yarim fazoning kesishmasi shaklida hosil qilish mumkin. Bunda konusning uchi sifatida l dagi ixtiyoriy S nuqtani olish mumkin.(28c-shakl)

7.Ixtiyoriy π tekislikdagi burchak (180⁰dan kichik burchak). Bu burchakni 2 ta yarim fazoning π tekislik bilan kesishmasi sifatida hosil qilish mumkin.(28j-shakl)
8.Nur (28f-shakl) Nurni to’g’ri chiziq va yarim tekisliklarning kesishmasi deb qarash mumkin. Uchi sifatida nurning boshlanish nuqtasi S ni olish mumkin.
9.Nuqta. Bunday konusni nur va yarim fazoning umumiy qismi sifatida hosil qilish mumkin.(28i-shakl).
Bu keltirilgan misollardagi “konus”lar biz odatlangan konus tushunchasida farq qiladi, lekin biz umumiylikni saqlash uchun ularni ham konus deb ataymiz.
Endi biz yuqorida sanalgan to’plamlar fazodagi barcha qavariq ko’pyoqlik konuslar bo’lishi, ya’ni ulardan boshqa fazoda qavariq ko’pyoqlik konus yoq ekanligini ko’rsatamiz.
Faraz qilaylik, r kesishmasi qaralayotgan konus bo’lgan yarim fazolar soni bo’lsin. P=1 da bizning tasdig’imiz o’rinli, bu holda K yarim fazo bo’ladi. Endi agar tasdiqni P ta yarim fazolar kesishmasi uchun o’rinli deb qarasak, u holda P+1 ta yarim fazolar kesishmasi uchun ham o’rinli bo’ladi. Bu holda P ta ning kesishmasidan tuzilgan konus bilan (P+1) – yarim fazoning (ya’ni 2 ta ) kesishmasi sifatida qarash kerak. Shunday qilib qaralayotgan tasdiq ixtiyoriy P natural soni uchun o’rinli.