MAVZUNI MUSTAXKAMDASH UCHUN SAVOLLAR .
a). k- tartibli minor deb nimaga aytiladi ?
b). qo'shimcha minor deb nimaga aytiladi ?
v). Algebraik to'ldiruvchi deb nimaga aytiladi ?
g). а 11 а12 а12
D= а21 а22 а23
а31 а32 а33
determinantdagi а32 elementga mos algebraik to'ldiruvchini toping .
20 - MA'RO'ZA
MAVZU: DETERMINANTLARNI SATR YOKI USTUN ELEMENTLARI
BO'YICHA YOYISH.
REJA:
1. Determinantlarni satr elementlari bo'yicha yoyish formulasi. Misollar.
2. Determinantlarni satr elementlari bo'yicha yoyish. Misollar.
3. Kramer formulalari.
4. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining nolmas yechimga ega bo'lish sharti.
ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3].
1. Agar Laplas teoremasida r=1 deb olib i- satrni ajratsak (4*) formula quyidagi ko'rinishga keladi.
1- natija. D= ai1Ai1+ ai2Ai2+ ... +ai n Ai n . (1)
(1) ga D determinantni i-satr elementlari bo'yicha yoyish formulasi deyiladi.
Agarda Laplas teoremasida r=1 deb olib birta j- ustunini ajratib olsak ushbu natijaga ega bo'lamiz.
2- natija. D= a1j A1j+ a2j A2j + ... + a nj Anj . (2)
(2) ga D ni j- ustun elementlari bo'yicha yoyish formulasi deyiladi.
Misol. 1). 1 2 3 0 ni avval 1- satr elementlari bo'yicha yoyib, keyin
D= 1 -1 2 -1 esa 1- ustun elementlari bo'yicha yoyib hisoblang.
1 1 0 1
0 2 0 1
Avvalo D ni 1-satr elementlari bo'yicha yoyib hisoblaylik:
-1 2 1 1 2 -1 1 -1 -1 1 -1 2
D=1(-1)1+1 1 0 1 + 2 (-1)1+2 1 0 1 + 3 1 1 1 + 0 (-1)1+4 1 1 0 =
2 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0
= 0 + 0 + 4 - 0 -2 +0 -2( 0 + 0 + 0 + 0 - 2 - 0) + 3 ( 1 - 2 - 0 - 0 + 1 - 2)+ 0=
=2 + 4 - 6 = 0 .
Endi D ni 1- ustun elementlari bo'yicha yoyib hisoblaymiz:
-1 2 -1 2 3 0 2 3 0
D=1(-1)1+1 1 0 1 + 1 (-1)2+1 1 0 1 +1 (-1)3+1 -1 2 -1 + 0 =( 0 + 0 + 4 - 0 -
2 0 1 2 0 1 0 2 1
- 2 - 0 ) - ( 0 + 0 + 6 - 0 - 3 - 0) + ( 4 + 0 - 6 - 0 + 3 - 0) = 2 - 3 + 1 = 0.
Agarda D ning i- satridagi faqat birta element, masalan ai1 0 , bo'lib
qolgan elementlar nolga teng bo'lsa, u holda D ning qiymati shu element bilan o'nga mos algebraik to'ldiruvchi Ai1 ning ko'paytmasiga teng bo'ladi.
Misol. 1). 1 2 -1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 = 1 -1 2 1 -1 2 1
3 2 1 -1 3 -4 4 -1 = -4 4 -1 = - 20 + 4 + 0 - 0 + 40 + 1 = 25.
2 4 -3 5 2 0 -1 5 0 -1 5
2). a11 0 0 ... 0 a22 0 ... 0 а33 ... 0
a21 a22 0 ... 0 a32 а33 ... 0
D = a31 a32 а33 ... 0 = а11 - - - - - - - - = а11 а22 - - - - - - = ... =
- - - - - - - - - - - an2 an3 ... ann аn3 ... аnn
an1 an2 an3 ... ann
= а11 а22 а33 ... аnn .
3). 0 0 . . . 0 a1n
0 0 . . . a2,n-1 a2n 0 0 . . . a2,n-1
. . . . . . . . . . . . . . . = a1n (-1)1+n . . . . . . . . . . . . . =
an1 an2 . . . an,n-1 ann an1 an2 . . . an,n-1
0 . . . a3,n-2
= a1n a2,n-1(-1)1+n+n-1+1 - - - - - - - - - = . . .= a1n a2,n-1 . . . an1(-1)(n+1)+n+ . . .+ 1 =
0 . . . an,n-2
=(-1)(1+n+1)(n+!) / 2 a1n a2,n-1 . . . an1 = (-1)(n+1)(n+2) / 2 a1n a2,n-1 . . . an1 .
3-natija. Agar n- tartibli D determinantdagi i- satrning (ustunning) elementlarini boshqa bir j- satrining (ustunining) algebraik to'ldiruvchilariga mos ravishda ko'paytirib qo'shsak yig'indi 0 ga teng bo'ladi, ya'ni
ai1Aj1+ ai2Aj2+ ... +ai n Aj n = 0 , ( i j) (3)
a1i A1j+ a2i A2j + ... + a n i Anj =0, ( i j). (4)
Isboti. 1- natijaga ko'ra D=a1j A1j+ a2j A2j + ... + anj Anj . Agar bu formulaning chap tomonidagi a1j , a2j , ... , a nj elementlarni mos ravishda a1i , a2i , ... , a ni lar bilan almashtirsak (ya'ni D da j-ustun elementlarining o'rniga ham i-ustun elementlarini yozsak) D da ikkita bir xil ustun paydo bo'ladi. Determinantlarning xossasiga ko'ra bunday determinantning qiymati nolga teng. Shunday qilib (4) tenglik isbotlandi. (3) ham xuddi sho'nga o'xshash isbotlanadi.
3. Faraz etaylik n ta nomalumli n ta chiziqli tenglamadan to'zilgan sistema
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2n xn = b2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (5)
an1 x1 + an2 x2 + ... + anj xj + ... + ann xn = bn
berilgan bo'lsin. Bu sistemadagi 1-tenglamani A1j ga, ikkinchisini А2 j ga, ... , n- tenglamani Anj ga ko'paytirib, tenglamalarni hadlab qo'shamiz. U holda
(a11 A1 j + a21 A2 j + ... + an1 An j ) x1 +( a12 A1 j + a22 A2 j + ... + an1 An j) х2+...+
+( a1j A1 j + a2j A2 j + ... + anj Anj)хj+...+( a1n A1 j + a2n A2 j + ... + ann Ann)хn=
=b1A1j+b2A2j+...+bnAnj .
tenglamaga ega bo'lamiz . Bundan esa (4)ga asosan
(а1j А1j +a2j A+... + anj Anj ) хj=b1A1j+b2A2j+...+bn Anj (6)
ni hosil qilamiz. (6) ning chap tomonidagi хj noma'lum oldidagi koeffisiyent 2-natijaga ko'ra D ga teng. O'ng tomonidagi ifoda esa D dagi j-ustun elementlarining o'rniga (5) dagi ozod hadlar ustunini qo'yib hosil qilingan Dj determinantga teng . Demak , Dхj =Dj еки хj=Dj / D , j=1,2,3,...,n ; ya'ni
х1=D1 / D, х2=D2 / D , ... , хn =Dn / D (7) formulalarga Kramer formulalari deyiladi. (7) ning (5)-chiziqli tenglamalar sistemasini qanoatlantirishini bevosita uning istalgan tenglamasiga qo'yib tekshirib ko'rish mumkin.
(7) da D0 bo'lishi kerak, agar D=0 bo'lsa, (5) yechish uchun Kramer formu-lasidan foydalanib bo'lmaydi . ( Bu holda (5) ning rangi r < n topiladi va (5)da n-r ta noma'lumlarni o'ng tomonga o'tkazib keyin qo'llasa bo'ladi).
Misol. 2x1 - 3x2 + x3 = -1
x1 + 4x2 - x3 = 3
3x1 - x2 + x3 = 4 chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib yeching.
Avvalo D, D1, D2 , D3 larni hisoblaylik.
2 -3 1
D= 1 4 2 =8 - 1 + 18 - 12 + 3 - 4 = 12 0
3 -1 1
-1 -3 1
D1= 3 -4 -2 =- 4 - 3 + 24 - 16 + 9 +2 = -23 + 35 = 12
4 -1 -1
2 -1 1
D2 = 1 3 -2 = 6 + 4 + 6 - 9 + 1 + 16 = 24
3 4 1
2 -3 -1
D3 = 1 4 3 = 32+ 1 - 27 + 12 + 12 + 6 = 63 - 27 =36.
3 -1 4
Bu topilgan qiymatlarni (7) formulalarga olib borib qo'ysak
х1=D1 / D =12 / 12 =1 , х2=D2 / D =24 / 12 = 2 , х3 =D3 / D =36 / 12 =3
berilgan sistemaning yechimlariga ega bo'lamiz.
Endi ushbu teoremani isbotlaymiz:
Teorema. n ta noma'lumli n ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo'lishi uchun uning noma'lumlari oldidagi koeffisiyentlardan to'zilgan matrisaning determinanti nolga teng ( D = det A=0 ) bo'lishi zarur va yetarlidir.
Isboti.a).Faraz etaylik
ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = 0 , ( i=1,2 , ...,n) (8)
sistema noldan farqli 12 n yechimga ega bo'lsin. U holda
ai1 1 + ai2 2 + ... + ain n = 0 , ( i=1,2 , ...,n) . (9)
Bu oxirgi sistemani quyidagicha yoza olamiz:
(a11 1 + a12 2 + ... + a1n n ; a21 1 + a22 2 + ... + a2n n ; ;an1 1 + an2 2 + ... + ann n) = ( 0, 0, ... , 0)
yoki
1(a11 ,a21 , ... an1)+2( a12 , a22 , ... ,an2) + + n( a1n , a2n , ... , ann )= 0 . (10)
(10) dan ko'rinadiki D ning ustunlari chiziqli bog'langan va demak D=0.
б). D=0 bo'lsa, u holda determinantlarning xossalariga ko'ra uning ustunlari chiziqli bog'langan. Demak, hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan 12 n sonlari mavjud bo'lib (10) bajariladi. (10) dan esa (9) kelib chiqadi, ya'ni (8)-sistema noldan farqli yechimga ega.
Misol. 2x1 +x2 - 4 x3 = 0
x1 - x2 - 5x3 = 0
3x1 +4 x2 - x3 = 0 chiziqli tenglamalar sistemasini qaraylik..
Bunda 2 1 -4
d= 1 -1 -5 = 2 - 16 - 15 - 12 + 1 + 40 = 43 - 43 = 0
3 4 -1
bo'lgagligi uchun sistema noldan farqli yechimga ega. Uni Gauss usuli bilan yechamiz :
x1 - x2 - 5x3 = 0 x1 - x2 - 5x3 = 0 x1 - x2 - 5x3 = 0
3 x2 + 6x3 = 0 x2 + 2x3 = 0 x2 + 2x3 = 0
7x2 + 14x3 = 0 x2 + 2x3 = 0
x2 = -2x3 , x1 = 5x3 + x2 = 5x3 - 2x3 = 3x3 .
Javobi: x1 = 3x3 , x2 = -2x3 , x3 R .
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR
1. n - tartibli D determinantni i - satr elementlari bo'yicha yoyish formulasini yozing.
2. n - tartibli D determinantni j - ustun elementlari bo'yicha yoyish formulasini yozing.
3. Agar n - tartibli determinantdagi biror satr elementlarini boshqa bir satrining algebraik to'ldiruvchilariga mos ravishda ko'paytirib hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shsak yig'indi nimaga teng bo'ladi?
4. Agar n-tartibli determinantdagi biror satr elementlarini ularga mos algebraik to'ldiruvchilarga ko'paytirib hosil bo'lgan ko'paytmalarni kushsak yig'indi nimaga teng bo'ladi?
5. Kramer formulasini yozing.
6. Agar Kramer formulasi xj = Dj / D da D = 0 bo'lib qolsa qanday holat yuz beradi?
7. xj = Dj / D Kramer formulasidagi Dj va D lar qanday bog'langan ?
21- MA'RO'ZA
MAVZU: MATRISANING RANGINI UNING MINORLARIDAN FOYDALANIB HISOBLASH
REJA:
1. Matrisaning rangi va uning noldan farqli minorlarining tartibi
orasidagi bog'lanish.
2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti.
3. Misollar. (Determinantlarni hisoblash).
ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3]
1. Faraz etaylik bizga mxn - tartibli A=(ai j) matrisa berilgan bo'lsin. Biz bundan avval matrisaning rangini elementar almashtirishlardan foydalanib hisoblash mumkin ekanligini kurgan edik. Endi ushbu teoremani is-botlaymiz.
1-teorema. A=(ai j) matrisaning rangi uning noldan farqli minoralarining eng yuqri tartiblisining tartibiga teng.
Isboti. A matrisada noldan farqli eng yuqri r-artibli minor M uning yuqri chap burchagida joylashgan bo'lsin:
a11 a12 ... a1r a1,r+1 ... a1n
a21 a22 ... a2r a2, r+1 ... a2n
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ar1 ar2 ... ar r ar, r+1 . .. arn
ar+1,1 ar+1,2 ... ar+1,r ar+1,r+1 ... ar+1,n
- - - - - - - - - - - - - - - - -
am1 am2 ... am r am, r+1 ... am,n
Aks holda A ning satr va ustunlarining o'rinlarini o'zaro almashtirib shu xolga olib kelish mumkin. Bu bilan uning rangi o'zgarmaydi.
A ning s- satri (s=r =1, 2, 3 , ... , m) birinchi r ta satrlar orqali chiziqli ifodalanadi.Ushbu (r+1)- tartibli determinant i ni qaraymiz:
a11 a12 ... a1r
i = a21 a22 ... a2r
- - - - - - - - - - - -
ar1 ar2 ... ar r .
Bu yerda i= 1, 2, . . . , n; s = r+1, r+2, . . . , m. Barcha i= 1, 2, . . . , n lar uchun
i = 0,
chunki i r da i da ikkita bir xil ustun mavjud bo'ladi. r+1 i da esa i
A ning (r+1) - tartibli minorini ifodalaydi, shuning uchun ham i =0 .
i ni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak
a1i A1i + a2i A2i + ... + ari Ari + as i As i = 0 , (1)
Bunda A =(-1)r+1+r+1 M =M=0 bo'lgani uchun (1) ni as i ga nisbatan yechsak
as i =1 i a1 i + 2 i a2 i + . . . + r i ar i , (i= 1, 2, . . . , n; s = r+1, r+2, . . . , m) ga ega bo'lamiz. Bundan ko'rinadiki A ning s-catri birinchi r ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Demak, A matrisaning rangi (satrlar bo'yicha rangi) r ga teng.
Natija. Determinantning nolga teng bo'lishi uchun uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'langan bo'lishi zarur va yetarlidir.
Misol . 1 1 1 -1
-1 -1 1 1
A= 1 -1 -1 1
1 1 -1 1
0 1 0 1 matrisaning rangini hisoblang.
Avvalo shuni ta'kidlash kerakki, matrisaning rangini minorlardan foydalanib hisoblashda faqat birbirining ichiga joylashgan minorlarini tekshirish kifoya.
Bizning misolimizda М1 =1 0
1 1 1 1
M2= -1 -1 = -1 + 1 =0, M'2 = -1 1 = 1 + 1 = 2 0
1 1 1
M3 = -1 -1 1 = 1 + 1 + 1 + 1 - 1 + 1= 4 0
1 -1 -1
1 1 1 -1 1 1 1 -1
-1 -1 1 1 0 0 1 0 1 1 -1
M4 = -1 -1 -1 1 = 2 0 0 0 =(-1)2+3 2 0 0 = - (- 4) =4 .
1 1 -1 1 2 2 0 0 2 2 0
Demak, r(A) = 4.
2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti
2- teorema. A va B n-tartibli kvadrat matrisalar ko'paytmasining determinanti shu matrisalar determinantlarining ko'paytmasiga teng.
Isboti. Agar A=E- birlik matrisa bo'lsa E B = 1 B = E B .
ya'ni bu holda teorema o'rinli.
2-teoremani isbotlashdan oldin ushbu lemmani isbotlaymiz.
Lemma. Agar A’’ matrisa A’ matrisadan birta elementar satr almashtirish yordamida hosil qilingan bo'lsa, u holda
A’ В = A’ В (2)
dan A’’ В = A’’ В (3)
kelib chiqadi.
Isboti. Faraz etaylik A’’ matrisa A’ matrisadan quyidagi elementar almashtirishlarning biri orqali hosil qilingan bo'lsin:
a) catrlarining o'rinlarini almashtirish;
b) ixtiyoriy satrini noldan farqli k coniga ko'paytirish;
c) biror satrini ixtiyoriy songa ko'paytirib ikkinchi bir satriga qo'shish.
Matrisalarni ko'paytirish qoidasiga asosan A’’ В matrisa A’ В matrisadan mos elementar almashtirish natijasida hosil bo'ladi.
a) bajarilgan bo'lsa, A’’ = - A’ va
A’’В =-A’B; (4)
b) bajarilgan bo'lsa,
A’’ = k A’ , A’’ В =k A’ B ; (5)
v) bajarilgan bo'lsa, u holda
A’’ = A’ , A’’ В = A’-B (6)
(4) , (5) va (6) dan (2) ga asosan (3) kelib chiqadi. Haqiqatan ham,
(4) va (2) dan A’’ В = - A’ B = - A’ В = A’’ В ;
(5) va (2) dan esa A’’ В = k A’ B = k A’ В = A’’ В ;
(4) ва (2) dan A’’ В = A’-B = A’ В = A’ В .
Shu bilan lemma to'la isbot bo'ldi.
Agar A matrisa a), б), с) elementar almashtirishlar yordamida E birlik matrisadan hosil qilingan bo'lsa, lemmaga asosan E В = E В dan
A В = A В kelib chiqadi. Bunda A 0, ya'ni A- xosmas matrisa.
A = 0 bo'lsa, u holda AB matrisaning satrlari ham chiziqli bog'langan bo'ladi, ya'ni
A В = 0 va A В = A В tenglik bajariladi.
3. Determinantlarni hisoblash.
1- misol. Ushbu D determinantda x qatnashgan hadning koeffisiyentini hisoblang:
1 2 0 x Determinantni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak
D = 0 1 1 y faqat 1-satr , 4- ustunini uchirganda x qatnashadi. Shu-
1 -1 0 z ning uchun ham x qatnashgan hadning koeffisiyenti ku-
1 1 1 t yidagiga teng bo'ladi: 0 1 1
1 -1 0 = 1+1-1 =1 .
1 1 1
2 - misol . Ushbu Vandermond determinantining qiymati ni hisoblang:
1 a1 a12 a13 . . . a1n-1
1 a2 a22 a23 . . . a2n-1
Vn = .....................................
1 an an2 an3 . . . ann-1 .
Buning uchun Vn ning har bir ustunini (-a1) ko'paytirib o'zidan oldingisiga kushamiz. U holda
1 0 0 . . . 0
1 a2 - a1 a2 (a2 - a1) . . . a2n-2 ( a2 - a1)
Vn= 1 a3 - a1 a3 (a3 - a1) . . . a3n-2 ( a3 - a1) =(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1)
........................................................................
1 an - a1 an (an - a1) . . . ann-2 ( an - a1)
1 a2 a22 a23 . . . a2n-2
1 a2 a32 a33 . . . a3n-2
..................................... =(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1) Vn-1 = . . . =
1 an an2 an3 . . . ann-2
=(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1) (a3 - a2) (a4 - a2)...(an - a2) ...(an - an-1 )=
n
= (ai-aj).
i> j
3-misol. Ushbu determinantni uchburchak ko'rinishga keltirib hisoblang:
a-x a a . . . a
a a-x a . . . a
D = a a a-x . .. a
..........................
a a a . . . a-x .
Oxirgi ustunini (-1) ga ko'paytirib barcha ustunlariga kushib chiqamiz:
-x 0 0 . . . a
0 -x 0 . . . a
D = 0 0 -x . . . a
...................... ....
x x x . . . a-x .
Endi barcha satrlarini oxirgi satriga kushamiz:
-x 0 . . . a
0 -x . . . a
D = ...................... =(-x)n-1 (na- x).
0 0 . . . na-x
4- misol.Berilgan D determinantni chiziqli ko'paytuvchilarini ajratish usuli bilan hisoblang:
1 x1 x2 . . . xn
1 x x2 . . . xn
D= 1 x1 x . . . xn (1)
..........................
1 x1 x2 . . . x .
D ning yoyilmasi n-darajali ko'phad bo'lib u x=x1, x2 , . . . , xn da nolga aylanadi.
Shuning uchun ham
D= c (x - x1) (x - x2) ... (x - xn) (2)
deb olsak bo'ladi. Endi noma'lum koeffisiyent s ni aniqlaymiz. (1) ning boshhadi xn-1, demak с=1.
Shunday qilib
D = ( x - x1 ) ( x - x2 ) ... ( x - xn ).
5-misol . ( Rekurent formulalardan foydalanish).
ao -1 o o ... o o
a1 x -1 o ... o o
Dn+1 = a2 o x -1 ... o o
- - - - - - - - - - - - - - - -
an-1 o o o ... x -1
an o o o ... o x ni hisoblang.
Dn+! ni oxirgi satr elementlari bo'yicha yoyamiz:
-1 o o ... o o
x -1 o ... o o
Dn+1 = (-1)n+2 an o x -1 ... o o + x Dn = an (-1)n+2+n +x Dn =
- - - - - - - - - - - - -
o o o ... x -1
= an + x( an-1+x Dn-1 )= an + an-1x + x2 Dn-1 .
Bu yerda
a0 -1
D2 = a1 x = a0 x+ a1 , D1 =a0 .
Shuning uchun ham
Dn+1= a0 xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x + an .
Do'stlaringiz bilan baham: |