Теория систем и системный анализ

Кривая Гомперца и логистическая кривая. В страховых и некоторых демографических расчетах нашла себе применение S-образная кривая, получившая название кривой Гомперца:
.
Также для описания S-образных кривых применяется логисти­ческая кривая:
.


Экспоненциальные кривые роста хорошо описывают процессы, имеющие так называемый лавинообразный характер, а именно, когда прирост зависит в основном от уже достигнутого уровня.
Если же на процесс все время воздействует ограничивающий фактор, то хорошее описание этого процесса можно получить с по­мощью модифицированной экспоненты. Если же ограничивающий фактор начинает влиять только после некоторого момента времени (точка перегиба), то наилучшее приближение дают S - образные кривые, которые описывают два встречных лавинообразных процесса: один с ускорением развития, другой - с замедлением.
12.3.2. Модельный подход к прогнозированию

Рассматривая задачу прогнозирования, мы предполагали, что прогнозируемая величина является функцией времени. Однако ча­сто это слишком упрощенный подход. Конечно, например, радио­активный распад молено считать зависимым только от времени, но большинство прогнозируемых показателей все же зависит от других факторов. Например, прогнозирование числа больных в данном на­селенном пункте зависит не от времени как такового, а от числа жи­телей, экологической обстановки и т. п. И если в следующем году число жителей резко сократится или возрастет, то во столько же раз изменится потенциальное число больных.

При модельном подходе ищется функциональная зависимость прогнозируемого показателя от факторов, на него влияющих (строит­ся модель типа (12.4)). Модельный подход потенциально дает самый точный прогноз, но является наиболее сложным и наукоемким.
Вернемся к причинам изменения прогнозируемого показателя и оценим пригодность тех или иных подходов к прогнозированию.
1.Если изменение прогнозируемого показателя связано толь­ко с динамическими процессами (а точнее, процесс изменения P(t)
является частью переходного процесса), то наиболее эффективным
будет применение экстраполяционного подхода. При этом причина­
ми изменения Р могут быть:

• 
  переходные процессы, происходящие в объекте (модель типа
  (12.3));
  
• 
  динамические процессы в объекте, приводящие к изме­нению его параметров A(t) (можно рассматривать и динамиче­ские процессы в психике людей, входящих в качестве элементов исследуемого объекта);
  
• 
  динамические процессы, протекающие вне объекта, следствием
  чего могут быть изменения возмущающих и неконтролируемых
  переменных - X(t) и ε(t).
  

В общем виде это можно описать такой моделью:


P(t)=F(X(t), A(t), ε(t), t). (12.6)


При этом, если мы не можем построить модель типа (12.6), прогно­зная модель будет строиться на основании временных рядов и опи­сывать зависимость прогнозируемого показателя только как функ­цию времени (модель типа (12.3)).
2.Другим подходом к прогнозированию динамических процес­сов можно назвать модельный авторегрессионный подход, когда стро­ится модель, связывающая значения прогнозируемого показателя в некоторый момент времени s со значениями этого же показателя н предыдущие моменты времени:
.


Авторегрессионная модель фактически является попыткой опи­сать динамический процесс алгебраическим уравнением вместо дифференциального.
3.Если изменение прогнозируемого показателя нельзя объяс­нить только как функцию времени (т. е. объяснить только динамиче­скими процессами), то применяется модельный подход, при котором в модели учитываются возмущающие и управляющие переменные. Такой подход предполагает, что прогнозируемая величина является выходной переменной исследуемого объекта (процесса или явления) Р = у и, в первую очередь, зависит от множества различных невре­менных факторов
Строятся как простейшие модели типа (12.1), так и более слож­ные, учитывающие запаздывающие переменные и время:


,


а также авторегрессионные составляющие:


.


Построение таких моделей связано с серьезными трудностями. Хотя следует сказать, что такая полная модель никогда и не исполь­зуется для прогнозирования, но всегда можно допускать присутствие ее членов в прогностической модели. Здесь мы сталкиваемся с се­рьезной задачей выбора структуры модели, а именно, отбора значи­мых членов модели. Во-первых, довольно сложно выбрать структуру модели; второй проблемой является ограниченное количество экс­периментальных данных, что не позволяет получить статистически значимые оценки параметров модели.