Теория поля Дубограй

10-misol. Egri chiziqning bir qismidan tashkil topgan kontur bo‘ylab nuqtani nuqtadan nuqtaga va ellips yoyidan nuqtaga ko‘chirishda vektor maydonining ishini toping .

Рисунок 4

Y echim.
Ishlash (qarang (8)).
Kontur ikki qismdan iborat bo'lganligi uchun egri chiziqli integralning qo'shimchalilik xususiyatidan foydalanamiz: . Keling, ikkala integralni (8.1) va (8.2) formulalar bilan aniqlanganlarga qisqartiraylik.
BC konturi ustidagi integralni hisoblash uchun ellips tenglamasini yozishning parametrik shaklidan foydalanamiz.
.
Javob: .
Misol 11. OX o'qining musbat qismidan ko'rinib turganidek, yarim shar va silindrning kesishishi bilan berilgan Viviani egri chizig'ining bir qismi bo'ylab vektor maydonining aylanishini hisoblang , soat sohasi farqli o'laroq .
Yechim .

Рисунок 5

B iz (7) formuladan foydalanamiz. C .
Integrandni bitta o'zgaruvchiga kamaytirish uchun silindrsimon koordinatalar tizimiga o'tamiz: . Chunki nuqta egri chiziq bo'ylab harakatlanadi , keyin qutb burchagi , ni parametr sifatida ko'rib chiqamiz va bu egri chiziq uchun quyidagi parametrik tenglamalarni olamiz:
. Keyin .
Olingan ifodalarni aylanmani hisoblash formulasiga almashtiramiz:
C .
Toq va juft funksiyalarning simmetrik oraliqlaridagi integrallarning xossalarini hisobga olib, quyidagilarga erishamiz: , va
C .
Javob : C= .
Green formulasi.
Yassi vektor maydoni uchun quyidagi tasdiq amal qiladi.
Agar funktsiyalar va ularning qisman hosilalari yopiq sohada uzluksiz bo'lsa G , bu erda G - oddiy bog'langan G sohasining chegarasi , u holda
- Green formulasi . (1 0)
o'tishning ijobiy yo'nalishini ko'rsatadi (soat miliga teskari).