Теорема Кронекера – Капелли

14. Теорема Кронекера – Капелли
Теорема Кронекера – Капелли.
Для того чтобы произвольная система линейных уравнений  была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов был равен рангу расширенной матрицы, то есть  .
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы  По определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исходной системы:  . Ранг расширенной матрицы за счет добавления одного столбца правой части системы может быть на единицу большим. Таким образом, для рангов рассматриваемых матриц всегда выполняется условие  . Выполнив конечное число элементарных преобразований в соответствии с прямым ходом метода Гаусса, приведем расширенную матрицу системы к стандартному ступенчатому виду
.
С точностью до обозначения неизвестных, полученной ступенчатой матрице соответствует ступенчатая система уравнений, равносильная исходной системе. Назовем неизвестные, стоящие в первых  строках преобразованной матрицы базисными и обозначим их для конкретности как  . Оставшиеся неизвестные общим числом  , назовем свободными и обозначим  . Отметим, что свободные переменные появятся только в том случае, когда ранг матрицы коэффициентов строго меньше числа неизвестных.
Покажем необходимость условия теоремы, т. е. положим, что система совместна и докажем, что  . Если система совместна, то в  -ой строке полученной ступенчатой матрицы число  должно быть равно нулю. Иначе в уравнении, соответствующем этой строке, слева от знака равенства стоит число, равное нулю, а справа стоит число отличное от нуля. Таким образом, число ненулевых строк в преобразованной расширенной матрице равно  и по теореме о ранге матриц выполняются условия  . Так как элементарные преобразования над расширенной матрицей не изменили ее ранга, то справедливо равенство , и, следовательно  , что и требовалось доказать.
Покажем достаточность условия теоремы, т. е. положим, что  и докажем, что система совместна. Воспользуемся логическим законом контрпозиции и докажем утверждение, равносильное исходному утверждению: «если система несовместна, то  ». Если система несовместна, то в  -ой строке, полученной ступенчатой матрицы, число  должно быть отличным от нуля. Таким образом, число ненулевых строк в преобразованной расширенной матрице равно  , и по теореме о ранге матриц выполняются условия . Так как ранг матрицы коэффициентов системы равен  , то справедливо  , что доказывает достаточность условия теоремы.
Таким образом, теорема Кронекера – Капелли полностью доказана.
Элементарные преобразования расширенной матрицы системы по методу Гаусса, использованные при доказательстве теоремы Кронекера – Капелли, позволяют эффективно исследовать и решать любые линейные системы.
Пример. Исследуем следующую систему уравнений:

Расширенная матрица этой системы имеет вид
.
Первые три столбца этой матрицы образуют матрицу  коэффициентов системы. Проводя элементарные преобразования расширенной матрицы, мы одновременно проводим соответствующие элементарные преобразования матрицы коэффициентов системы. Преобразуем расширенную матрицу системы в соответствии с прямым ходом метода Гаусса: переставим первую и вторую строки; последовательно умножим новую первую строку на (-2) и на (-3) и сложим со второй и третьей строками; из третьей строки вычтем вторую и затем разделим вторую строку на число 5
.
Третье уравнение преобразованной по методу Гаусса системы, которое соответствует третьей строке преобразованной расширенной матрицы, не имеет решения. Поэтому не имеет решений (несовместна) и равносильная ей исходная система уравнений. При этом преобразованная матрица коэффициентов системы имеет две ненулевых строки и соответственно  , а преобразованная расширенная матрица имеет три ненулевых строки и  . Таким образом, условия теоремы Кронекера – Капелли не выполняются и исходная система из трех уравнений с тремя неизвестными – несовместна.
Следствие 1. Если система линейных уравнений совместна ( ) и число неизвестных системы равно рангу матрицы системы  , то система уравнений всегда имеет единственное решение.
Доказательство. Действительно, если условия следствия выполняются, то в  -ой строке полученной ступенчатой матрицы  число  равно нулю, так что в матрице  ( ) - ая строка и все последующие (если эти строки имеются) являются нулевыми. Уравнения, отвечающие нулевым строкам, не влияют на множество решений и их можно не включать в преобразованную систему. Таким образом, независимо от числа уравнений  в исходной системе, равносильная ей система уравнений, отвечающая ступенчатой матрице  , является квадратной и невырожденной. По теореме Крамера такая система имеет единственное решение, что и требовалось доказать.
Отметим, что указанное в следствие единственное решение не обязательно искать по формулам Крамера. Более экономно продолжить преобразования матрицы  , отбросив предварительно нулевые строки, и выполнить обратный ход метода Гаусса.
Пример. Решим методом Гаусса следующую систему уравнений:

Выпишем расширенную матрицу этой системы и выполним ее элементарные преобразования по методу Гаусса. Умножим первую строку последовательно на числа 2, 1, 4 и вычтем результаты соответственно из второй, третьей и четвертой строк; далее третью строку умножим на число (-1) и переставим вторую и третью строки местами:

Умножим теперь вторую строку на числа 3, 2 и вычтем результат последовательно из третьей и четвертой строк; из четвертой строки вычтем третью, а третью строку разделим на (-5).
.
На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Анализируя полученную ступенчатую матрицу, можно сделать вывод о том, что и в преобразованной матрице коэффициентов, и в преобразованной расширенной матрице имеются по три ненулевых строки, так что  . Число неизвестных в решаемой системе также равно трем, так что по следствию 1 исследуемая система имеет единственное решение. Это решение найдем, выписав систему уравнений, соответствующую ступенчатой матрице  :

И выполняя обратный ход метода Гаусса. Для этого последовательно определим неизвестные, начиная с последнего уравнения и выполняя необходимые подстановки. Таким образом: 
Исследование и решение однородных систем уравнений.
Однородная система  всегда совместна, так как имеет тривиальное решение  . В этом случае и в преобразованной матрице коэффициентов, и в преобразованной расширенной матрице всегда одинаковое число строк. Таким образом, всегда  И всегда выполняется теорема Кронекера – Капелли. Если же дополнительно ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных системы  , то, учитывая выполнение всех условий следствия из теоремы Кронекера – Капелли, тривиальное решение системы является единственным решением системы.
Следствие 2. Если система линейных уравнений совместна ( ) и ранг матрицы системы  строго меньше числа неизвестных системы:  , то система уравнений всегда имеет бесконечно много решений.
Действительно, если условия следствия выполняются, то отбросим в ступенчатой матрице нулевые строки, которые не влияют на множество решений. Далее представим систему уравнений, отвечающую матрице  , в следующем виде:

В этой системе слагаемые с базисными неизвестными  Оставлены в левых частях уравнений, а слагаемые со свободными неизвестными  Перенесены со знаком минус в правые части. Отметим, что разделение неизвестных на базисные и свободные возможно и в других комбинациях. В каждом случае получится одно и то же множество решений, представленное в различных формах записи. Обязательно только, чтобы неизвестные, выбранные как базисные, находились на пересечении базисных строк и базисных столбцов матрицы  . Так как ранг матрицы  равен  , то определитель матрицы коэффициентов, представленной системы, отличен от нуля и по теореме Крамера при любых значениях правых частей, система имеет единственное решение относительно базисных неизвестных. Свободные неизвестные могут принимать любые числовые значения и при записи общего решения исходной системы уравнений их полагают равными произвольным постоянным, так что  . Базисные неизвестные находятся из представленной выше системы либо по формулам Крамера, либо по полной схеме метода Гаусса, и зависят от правых частей системы  И произвольных постоянных:

Отметим, что формулы, выражающие все  неизвестных  в виде функций от  произвольных постоянных  , называют общим решением исходной системы. Напомним, что множество всех решений системы также обычно называют общим решением системы уравнений и оно совпадает с общим решением, выраженным через произвольные постоянные.
Если система линейных уравнений однородна и  , то ее множество решений также бесконечно и зависит только от  произвольных постоянных  . Среди бесконечного множества решений однородной системы всегда можно выделить ровно  линейно независимых решений размерности  . Построим эти решения, полагая в общем решении вектор произвольных постоянных  равным векторам канонического базиса в пространстве арифметических векторов размерности  :

Эти вектор – решения линейно независимы, так как линейно независимы векторы канонического базиса размерности  , стоящие в нижних строках каждого из решений. Система вектор – столбцов решений  называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений. Любая линейная комбинация этих решений

также является решением, так как по линейным свойствам матриц имеем:
=
=
Таким образом, любое общее решение однородной системы уравнений  всегда может быть представлено в виде линейной комбинации  фундаментальных решений с коэффициентами из произвольных постоянных
.
Если задана произвольная неоднородная система  , то для записи ее общего решения полезна следующая теорема.
Теорема (о виде общего решения неоднородной системы уравнений).
Решение неоднородной системы уравнений  всегда может быть представлено как сумма общего решения соответствующей однородной системы и произвольного частного решения неоднородной системы
.
Доказательство. Рассмотрим разность  Между любым решением  Неоднородной системы  и некоторым частным решением  Той же системы. Используя линейные свойства матриц, получим
.
Таким образом, показано, что указанная разность всегда является некоторым решением соответствующей однородной системы, что и доказывает теорему.
Частное решение неоднородной системы обычно выделяют из ее общего решения, полагая в общем решении вектор произвольных постоянных  равным нулевому вектору  в пространстве арифметических векторов размерности  :
.