Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то X и Y

Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.
Доказательство. Двумерная плотность вероятности (см. § 19)

где

Плотность вероятности составляющей X (см. § 19. замечание)

Найдем функцию регрессии , для чего сначала найдем условный закон распределения величины У при Х = х [см.§14, формула (**)]:

Подставив (*) и (**) в правую часть этой формулы и выполнив выкладки, имеем

Заменив и и vпо формулам (**), окончательно получим

Полученное условное распределение нормально с ма­тематическим ожиданием (функцией регрессии Y на X)

и дисперсией
Аналогично можно получить функцию регрессии Xна Y:

Так как обе функции регрессии линейны, то корре­ляция между величинами X и Y линейная, что и требо­валось доказать.

Принимая во внимание вероятностный смысл пара­метров двумерного нормального распределения (см.§19), заключаем, что уравнения прямых регрессии

совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии (см.§20).