Теорема. Агар икки ўлчовли тасодифий миқдор ( Х, й ) нормал тақсимланган бўлса, Х ва Й

Теорема . Агар икки ўлчовли тасодифий миқдор ( Х , Й ) нормал тақсимланган бўлса, Х ва Й чизиқли корреляция билан боғланади .
Исбот . Икки ўлчовли эҳтимоллик зичлиги (19-бандга қаранг)

қаерда

Х компонентининг эҳтимоллик зичлиги (19-бандга қаранг. Эслатма)

регрессия функциясини топамиз , бунинг учун биринчи навбатда Й миқдори учун Х = х да шартли тақсимот қонунини топамиз [14-§, формула (**) га қаранг]:

Ушбу формуланинг ўнг томонига (*) ва (**) ўрнига қўйиб, ҳисоб-китобларни амалга оширамиз

Ўзгартириш ва ва формулалар бўйича (**), биз ниҳоят қўлга киритамиз

Олинган шартли тақсимот математик ­кутиш билан нормалдир ( регрессия функцияси Й х да )

ва дисперсия
Х регрессия функциясини ҳам олиш мумкин Й :

Иккала регрессия функцияси ҳам чизиқли бўлгани учун ­Х ва Й ўртасидаги боғлиқлик чизиқли, бу ­исботланиши керак эди.

Икки ўлчовли нормал тақсимот параметрларининг эҳтимоллик маъносини ҳисобга олган ҳолда (19- ­бандга қаранг ), биз регрессия чизиқлари тенгламалари деган хулосага келамиз.

илдиз-ўртача-квадрат регрессиясининг тўғри чизиқлар тенгламалари билан мос келади (§20-га қаранг) .