Teorema Agar funktsiya segmentda uzluksiz bo’lsa, u integrallanuvchidir, ya’ni bunday funktsiyaning aniq integrali mavjuddir. Aniq integralning xossalari

ANIQ INTEGRAL.
Aniq integral–matematik analizning eng muhim tushunchalaridan biri bo’lib, u orqali turli ko’rinishdagi figura yuzlarini, yoylarning uzunliklarini, turli shakldagi jismning hajmini va hokazolarni hisoblash mumkin.
segmentda uzluksiz funktsiya berilgan bo’lsin.
1. segmentni nuqtalar bilan ta bo’lakka bo’lamiz:
.
Ular qismiy intervallar deyiladi.
2.Qismiy intervallar uzunliklarini

bilan belgilaymiz.
3.Har bir qismiy intervaldan bittadan ixtiyoriy nuqta tanlab olamiz:
.
4.Tanlangan nuqtalarda berilgan funktsiyaning qiymatini hisoblaymiz:

5.Funktsiyaning hisoblangan qiymatlarini mos qismiy intervallar uzunliklariga ko’paytmasini tuzamiz:
.
6.Hosil bo’lgan ko’paytmalarini qo’shamiz va bilan belgilaymiz:

yig’indi funktsiyaning segmentdagi integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deyiladi va qisqacha bunday yoziladi:

Integral yig’indi bo’linishlar usuli ga va tanlab olinadigan nuqtalar ga bog’liq
Bo’linishlar soni ni ortira borish hisobiga eng katta qismiy intervalning uzunligi nolga intiladi, ya’ni
1-ta’rif. Agar integral yig’indi segmentni qismiy intervallarga ajratish usuliga va ularning har biridan nuqtalarni tanlash usuliga bog’liq bo’lmay hamma vaqt yagona songa intilsa, u holda shu son segmentda funktsiyadan olingan aniq integral deyiladi va

kabi belgilanadi.
Aniq integral ta’rifi va belgilashga asosan:

Teorema 1. Agar funktsiya segmentda uzluksiz bo’lsa, u integrallanuvchidir, ya’ni bunday funktsiyaning aniq integrali mavjuddir.
Aniq integralning xossalari.
CHekli sondagi funktsiyalar algebraik yig’indisining aniq integrali shu funktsiyalar aniq integralining algebraik yig’indisiga teng:

O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

Agar funktsiya segmentda o’z ishorasini o’zgartirmasa, u holda bu funktsiya aniq integralining ishorasi funktsiya ishorasi bilan bir xil bo’ladi, ya’ni:
agar segmentda bo’lsa, u holda
agar segmentda bo’lsa, u holda bo’ladi.
Agar uchun tengsizlik bajarilsa, u holda

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Agar segment bir necha qismga bo’linsa, u holda segment bo’yicha aniq integral shu qismlar bo’yicha olingan aniq integrallar yig’indisiga teng: Agar bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar va sonlar funktsiyaning segmentdagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo’lsa, u holda

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Izohlar.
1. Aniq integralning qiymati integral ostidagi ifoda harfiga bog’liq emas.

2. Aniq integral chegaralari almashtirilsa, integralning ishorasi o’zgaradi:

3. Aniq integralning chegaralari teng bo’lsa, har qanday funktsiya uchun

tenglik o’rinli bo’ladi.
1.Aniq integralni hisoblash.
Ko’p hollarda aniq integralni ta’rifga ko’ra hisoblash qiyin va uzoq hisoblashlarni talab qiladi. SHuning uchun amalda juda kam qo’llaniladi. Integrallarni hisoblashning amaliy jihatdan qulay bo’lgan yo’llarini topish zarurati tug’iladi.
Teorema 1.Agar funktsiya ning segmentda boshlan-g’ich funktsiyasi bo’lsa, u holda aniq integral boshlang’ich funktsiyaning integrallash oralig’idagi orttirmasiga teng, ya’ni.

(1) formula aniq integralni hisoblashning Nyuton–Leybnits formulasi deyiladi.
Agar deb olinsa, u holda

bo’ladi.
2. Aniq integralni hisoblash usullari.
1). O’zgaruvchini almashtirish usuli.
funktsiya segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. deb, o’zgaruvchini almashtiramiz,bunda funktsiya segmentda uzluksiz, hosila ham bu segmentda uzluksiz bo’lsin.
funktsiya va ni mos ravishda va ga akslantirsin, ya’ni .
U holda

tenglik o’rinli bo’ladi.
(2) formula o’zgaruvchini almashtirib integrallash formulasi deyiladi.
2). Bo’laklab integrallash usuli.
va funktsiyalar segmentda differentsiallanuvchi bo’lsin.
Aniqmas integralni bo’laklab integrallash formulasiga asosan:

(3) formula aniq integralni bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.