Tenglama va tengsizliklarning teng kuchliligi

KVADRAT TENGLAMALAR.
Sakkiz yillik maktablarda kvadrat tenglamalarni yechish va u yordamida masalalarni hal qilish muhim o’rinni egallaydi. SHu sababdan bu mavzuni o’tishda o’qituvchidan kvadrat tenglamani turli ko’rinishlarini yechishni sodda va qulay usullarini, eng muhimi kvadrat tenglama keltiriladigan masalalarni yechish ko’nikmalarini o’quvchilariga puxta o’rgatishga alohida e’tibor qilish lozim. (bu yerda ) ko’rinishidagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi. Kvadrat tenglama ildizlarining soni ifodaning musbat, manfiy yoki nolga teng bo’lishiga bog’liq. ifoda kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi va odatda harfi bilan belgilanadi.
Agar :

1. 
   bo’sa, tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi.
   
2. 
   bo’lganda tenglama yagona ildizga ega bo’ladi.
   
3. 
   bo’lganda esa berilgan tenglama ikkita ildizga va ega bo’ladi. umumiy holda (bu yerda ) ko’rinishida yoziladi. Ko’pchilik algebra kitoblarida yuqoridagi formuladan tashqari keltirilgan kvadrat tenglama uchun quydagi formuladan bu yerda foydalaniladi. Kvadrat tenglamani yechishni o’quvchilar 7-sinfda o’rganadilar. Keyingi sinflarda esa bu mavzuga doir har xil misol va masalar orqali uni takrorlaydi va ayrim xossalari bilan tanishadilar. (bu yerda – uchinchi yoki undan yuqori darajada bo’lgan ko’phad) korinishidagi tenglamalarni, berilgan ko’phad birinchi yoki ikkinchi darajali ko’phadga ega bo’lgan ko’paytuvchilarga ajratish bilan, yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yoki ko’rinishiga keltirish bilan yechadilar. Aytaylik ko’rinishidagi tenglamani yechish lozim bo’lsin. tenglamadagi ko’phadni ko’paytuvchilarga ajratib quydagiga ega bo’lamiz :
   

Ifodaning har biri ning har qanday qiymatida ma’noga ega bo’lgani uchun berilgan tenglama yoki yoki tenglamalariga teng kuchli. Demak, berilgan tenglamaning yechimlari -1, -4, 4 sonlardan iborat.
Sakkiz yillik maktablarda yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yechiladigan tenglamalarga misol qilib bikvadrat tenglamani ko’rsatish mumkin. Bu tenglamani yechishga doir aniq misol ko’raylik
Tenglamadagi orqali belgilab, ga ega bo’lamiz. Butenglamani yechib ikkita ildizga ega bo’lamiz. Demak, berilgan bikvadrat tenglama yoki larga teng kuchli bo’ladi. bu tenglamalarni yechib qiymatlarni topamiz. Bu qiymatlarni berilgan bikvadrat tenglamaning ildizlari bo’ladi. ko’rinishidagi tenglamani unga teng kuchli tenglamaga almashtirish mumkin. toq bo’lganda bu tenglamani tenglamaga teng kuchli bo’ladi. juft bo’lganda : ; hollari bo’lishi mumkin. bo’lganda, tenglama yechimga ega emas. bo’lganda tenglama birgina yechimga ega bo’adi. bo’lganda esa tenglama va ikkita ildizga ega bo’ladi. Demak, ifodalar butun bo’lganda ko’rinishidagi chiziqli yoki kvadrat tenglamaga teng kuchli bo’lgan har qanday tenglamani o’quvchilar yecha oladilar. Agar ko’rib o’tilgan tenglamalar uchinchi yoki undan katta darajali bo’lgan ko’phaddan iborat) tenglamaga teng kuchli bo’lsa, u holda bunday bunday tenglamalarni o’quvchilar maxsus ko’rinishtagilarnigina yecha oladilar. Endi va lar ratsional ifodalar, kamida bittasi kasrli bo’lgan ko’rinishidagi tenglamani yechishni ko’raylik. Uni aniq misollarda ko’ramiz.
(1)
Tenglamasi berilgan bo’lsin. Tenglamani hadini teskari ishora bilan tenglikning chap tomoniga o’tqazib nolga tenglashtiramiz.
(2)

1. 
   tenglama (2) ko’rinishga keltirilganda uning ildizi yo’qolishi yoki yangidan ildizga ega bolishi mumkin. Haqiqatdan ifoda ning qiymatlarida aynan nolga teng. ni nolga aylantiradigan qiymatlarida yangidan ildizga ega bo’lishi mumkin. bu qiymatlar (2) tenglamaning ildizlari bo’la olmaydi, chunki bu qiymatlarda ifoda o’z ma’nosini yo’qotadi. SHu tariqa muhokama yuritib ratsional ifodalar va bularning kamoda bittasi kasrli bo’lganda tenglama tenglamaga teng kuchli bo’ladi. yuqorida ko’rib o’tgan misolga qaytaylik
   

Kasrlarning yig’indisi keltirib, quydagi tenglamaga ega bo’lamiz

(3)tenglamaga (2) va (1) tenglamalarga teng kuchli bo’ladi. kasrli ifodani surat va maxraji ko’phadlardan iborat bo’lganda tenglamani almashtirish natijasida o’ziga teng kuchli bo’lgan tenglamaga har doim o’tish mumkinmi ?
Buni aniq misollarda ko’raylik.
1-misol. (4) tenglamani ko’rinishiga keltiramiz.
Tenglamaning chap tomonidagi ifodalarni qisqartirib, quydagiga ega bo’lamiz. (5)
(5) tenglama (4) ga teng kuchli emas.
Haqiqatdan 2 soni (5) tenglamani qanoatlantiradi, (4) ni esa qanoatlantirmayni.
CHunki ayniy almashtirishda teng kuchlilikka zid ish qilindi, natijada torroq aniqlanish sohasidan unga nisbatan kengroq aniqlanish sohasiga o’tildi, ya’ni ifoda dan boshqa hamma qiymatlarda aniqlangan. oifodasi esa ning istalgan qiymatida aniqlangandir.
2-misol. (6)
Bu tenglamada ayirmani nol soni bilan amashtiramiz. U holda (7) tenglikka ega bo’lamiz. (7) tenglama 6 tenglamaga tengkuchli emas, chunki o’zgaruvchi ning shunday qiymati (3 soni) mavjudki, u (7) ni qanoatlantiradi, (6)ni esa qanoatlantirmaydi. Bu yerda tengkuchlilik buzilgan, ifodaning aniqlanish soxasi ifodaning aniqlanish sohasidan kengroq.
Kamida bittasi kasr bo’lgan ratsional ifodani kasri bilan almashtirilganda ko’phadlarda bajarilgan ayniy almashtirishlar aniqlanish sohalarini o’zgartirmasa, u holda tenglamasi tenglamasiga , bundan esa ga teng kuchli bo’ladi. demak, (4) tenglamaga tenglama teng kuchli. (6) tenglamaga esa yoki tenglamasi teng kuchli.
Xulosa qilib aytganda yuqorida ko’rib o’tgan tenglamaning har xil ko’rinishlari bilan o’quvchilar VII sinfda tanishadilar. Bu usul “traditsion usul” hisoblangan maxrajini tashlab yuborish usulidan qatiy ustunlikka ega.