Temir yo’l transportida telemexanik boshqaruv va nazorat tizimlari fanidan

4 – Практическое занятие
Тема занятии
Изучить составление геометрических фигур кода и их характеристики
Ранее было указано, что в системах телемеханики команда (приказ) обозначается целым положительным числом, а затем это число передается по каналу связи. При обозначении команд числами необходимо определить: основание системы счисления, которое будет называться основанием кода (k); общее количество чисел, необходимых для передачи любой команды, которое будет называться емкостью или мощностью кода (N); максимальное количество символов (знаков) в числе, которое будет называться длиной кода (n). Величины k, N, n являются характеристиками кода. В курсе математики показано, что при использовании для обозначения команд натурального ряда чисел, зависимость между характеристиками кода описывается выражением

.

(5)

Выше указывалось, что в телемеханических системах используется двоичная система счисления. Тогда выражение (5) перепишется как . Величина получена из

,

(6)

где , , ,…,… – число сочетаний из n элементов соответственно по 0, 1, 2,…m,…n.

Исходя из этого, двоичный код, использующий натуральный ряд чисел называется кодом на все сочетания. Этот код нашел применение в системе полярно-частотной диспетчерской централизации (ПЧДЦ).

Поскольку для устройств телемеханики принята двоичная система счисления, то, принимая основание логарифмов равным 2, и, решая уравнение (5) относительно «n» получим

.

(7)

При разработке любых систем телемеханики мощность кода (N) определяется числом управляемых или контролируемых объектов и в общем случае может иметь любое целое численное значение. Подставляя это значение в формулу (7) и выполнив вычисления, получают, как правило, число, имеющее не только целую, но и дробную часть. Поскольку длина кода (n) всегда целое число, то знаки «» означают, что полученное значение «n» должно быть округлено в сторону ближайшего большего.

Допустим, что нам необходима система, в которой требуется передать не более 8 команд. При N=8 и использовании кода на все сочетания, получим

.

Таким образом, максимальное количество символов в числе – 3. выпишем эти числа в столбик и ограничим его справа и слева прямыми линиями. Такая запись множества восьми чисел получила название матричной формы. Если код обозначить символом G, то матричная форма будет иметь вид

.

(8)

Напомним, что запись каждой строки матрицы называется кодовой комбинацией, а каждая цифра – символом. Из выражения (8) видно, что количество символов в различных кодовых комбинациях разное. Коды (G), в которых количество символов в различных кодовых комбинациях не является постоянной величиной, называются неравномерными кодами.

Недостаток рассмотренного неравномерного кода состоит в том, что он не позволяет применить числовую защиту. Действительно, если в процессе передачи кодовой комбинации, например 111, под воздействием помех влияний связи пропадет хотя бы один символ, то на приемной стороне эта кодовая комбинация будет принята как 11. Это означает, что вместо одной команды конкретному объекту (например, «стрелка 3 переведись в минус») на этот или другой объект будет направлена другая команда (например, «стрелка 1 переведись в плюс»).

В устройствах диспетчерской централизации применяются равномерные коды. Это такие коды, у которых количество символов во всех кодовых комбинациях одинаково. Поскольку мы рассматриваем код как множество чисел, то равномерный код может быть получен из неравномерного путем дописывания символа «0» и тогда он будет иметь вид:

(9)

Дописываемые символы всегда располагаются слева, что не изменяет значения чисел.

Геометрическая форма кода (9) показана на рис.6, на котором по оси х отложено значение нулевого разряда, по оси y – первого и по оси z – вто-

рого разрядов. Здесь код представ-ляет собой множество (8) точек трехмерного пространства, а каж-дая точка обозначена соответст-вующим двоичным числом. В общем случае длина кода «n» может иметь любое значение и тогда используется многомерное пространство. Таким образом, геометрическое представление ко-да – это множество точек много-мерного пространства, а излагае-мые ниже, применительно к трех-мерному пространству, характе-ристики и понятия кодов будут действительными и для много-мерного пространства.

Рис.6. Геометрическая форма кода

Важным понятием для кода является понятие междукодового расстояния. Это понятие может быть применено как к двум кодовым комбинациям, так и ко всему коду в целом.

Применительно к двум кодовым комбинациям это минимальное расстояние между двумя точками пространства, измеряемое при движении от одной точки к другой, причем движение должно осуществляться параллельно осям пространства (т.е. по граням многомерной фигуры). Например, для рис.5 междукодовое расстояние между точками «001» и «011» равно единице, т.к. движение от одной точки к другой осуществляется по грани куба параллельно оси y. Для того же рисунка междукодовое расстояние между точками «001» и «111» равно двум, так как движение от одной точки к другой осуществляется по двум граням куба, одна из которых параллельна оси y, а другая – z.

Междукодовое расстояние обозначается , а его численное значение может быть определено, если последовательно выполнить две математические операции.

Первая операция называется сложением по модулю 2, обозначается знаком и представляет собой арифметическую операцию сложения без переноса единицы в высший разряд. Правила сложения по модулю 2:

00=0; 01=1; 10=1; 11=0.

Вторая математическая операция является арифметическим сложением в десятичной системе счисления.

Пример: определить между точками (см. рис.6) «001» и «111» .

Анализируя код рисунка 6 можно подбирать различные пары чисел, которые будут иметь различное численное значение . Однако, в любом коде можно найти такую пару чисел, для которой значение будет минимальным. Это значение называется минимальным междукодовым расстоянием, обозначается буквой d и является важной характеристикой любого кода. Например, для кода на все сочетания d=1.

Необходимость введения понятия d связана с тем, что передача символов сигнала ведется по каналу или линии связи, в которых действуют случайные помехи. Под воздействием этих помех символ «1» кодовой комбинации может перейти в символ «0» или наоборот. Это явление называется трансформацией символа или трансформацией элементарного сигнала. При d=1 трансформация символа приводит к тому, что переданная конкретная команда будет принята как другая команда, которая может относиться даже к другому объекту. В этом можно убедиться, рассматривая передачу, например, команды 001 по рисунку 6. Действительно, если передавалась комбинация 001 и трансформировался:

а) первый символ, то будет принята команда 101;

б) второй символ, то будет принята команда 011;

в) третий символ, то будет принята команда 000.

Продолжая рассматривать необходимость введения понятия d, поставим перед собой задачу: «выбрать код для системы, имеющей емкость N=4 приказа (команды)».

При решении первой задачи, код с d=1 будет иметь вид:

(10)

В коде (10) трансформация любого символа приводит к трансформации команды.

Решая эту же задачу, составим код с d=2. Для этого, пользуясь рис.6, выберем любую кодовую комбинацию (например, 001) и далее, двигаясь по граням куба, определим остальные кодовые комбинации с d=2. на рисунке 6 все выбранные кодовые комбинации отмечены звездочкой (*), а код будет иметь вид:

(11)

Проанализируем передачу любой кодовой комбинации (например, 001) и ее прием при условии, что в канале связи происходит трансформация одного символа. Знак трансформации обозначим как . Тогда

001 101 – трансформация символа №1; 001 011 – трансформация символа №2; 001 000 – трансформация символа №3.

(12)

Из сравнения трансформированных кодовых комбинаций (12) с кодом G₂ (11), можно видеть, что ни одна из трансформированных кодовых комбинаций не является командой, и воздействия на какой-либо объект управления произвести не может. Таким образом, применение кода (11), при решении нашей задачи, позволяет обнаружить трансформацию одного символа или, как говорят, обнаружить одиночную ошибку. Можно показать, что для обнаружения двойной ошибки (трансформации двух символов) необходимо будет увеличить значение минимального междукодового расстояния до трех, для обнаружения тройной ошибки – до четырех и т.д. Общий вывод – увеличение значения «d» увеличивает кратность обнаруживаемых ошибок.

Коды G₁ (10) и G₂ (11) обладают одинаковой емкостью (4 команды), но имеют разную длину (код G₁ – 2 символа, а код G₂ – 3 символа). Рассматривая код G₂ относительно кода G₃ можно сказать, что в коде G₂ только два символа означают команду. Эти два символа называются информационной длиной () кода G₂, а один символ называется защитной длиной () кода G₂. Для любых кодов имеющих защитные свойства

.

(13)

Для кода G₂ (11) ; ; .

Величина, численное значение которой показывает, какая часть из общего количества символов кода используется для целей защиты, называется избыточностью, а сам код – избыточным кодом. По этому определению

.

(14)

Нетрудно посчитать, что для кода G₂ (11) Д=0,333.

Избыточность ведет к увеличению длины кодовых комбинаций и может быть посчитана по выражению (14) в случае, если известно точное число разрядов (), на которое увеличивается кодовые комбинации. Однако, в ряде случаев это число неизвестно. Тогда избыточность характеризуется коэффициентом избыточности (К_изб).

.

(15)

Величина, численное значение которой показывает, какая часть из общего количества символов кода используется для передачи команд, называется скоростью кода (R)

.

(16)

Избыточность в комбинациях кода может быть образована двумя способами:

выбором из общего числа возможных комбинаций (это натуральный ряд двоичных чисел) только некоторых с определенными свойствами. Коды, образованные по этому способу получили название неразделимых;

добавлением защитных символов ко всем возможным комбинациям кода на все сочетания для придания коду нужных свойств. Коды, образованные по этому способу, получили название разделимых.

Заметим, что коды, не обнаруживающие трансформации символов получили общее название помехонезащищенных, а избыточные коды – помехозащищенных.

Избыточные коды могут применяться не только для обнаружения ошибок, но и для их исправления. Такие коды получили название корректирующих. Для корректирующих кодов

,

(17)

где r – кратность обнаруживаемых ошибок;

s – кратность исправляемых ошибок.

Как видно из (17) для исправления ошибок требуется увеличение междукодового расстояния, что приводит к большой избыточности, резкому усложнению аппаратуры шифрации и дешифрации, поэтому в телемеханических устройствах железнодорожного транспорта они не применяются.