Тема10. Приложения операционного исчисления для решения дифференциальных уравнений и их систем

ТЕМА10.Приложения операционного исчисления для решения дифференциальных уравнений и их систем.
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Требуется найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Если функция x(t) является решением этого дифференциального уравнения, то оно обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа.

Из теоремы о дифференцировании оригинала { } можно сделать вывод, что

Тогда

Обозначим

Получаем:

Это уравнение называется вспомогательным (изображающим) или операторным уравнением.
Отсюда получаем изображение , а по нему и искомую функцию x(t).

Изображение получаем в виде:

Где

Этот многочлен зависит от начальных условий. Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид:

Рассмотрим применение этого метода на примерах.
Пример1. Решить уравнение

Изображение искомой функции будем искать в виде:

Находим оригинал, т.е. искомую функцию:


Пример2. Решить уравнение

Пример3. Решить уравнение:

Изображение искомой функции

Для нахождения оригинала необходимо разложить полученную дробь на элементарные дроби. Воспользуемся делением многочленов (знаменатель делится без остатка на p – 1):
p³ – 6p² + 11p – 6 p - 1
p³ – p² p² – 5p + 6
-5p² + 11p
-5p² + 5p
6p - 6
6p - 6
0

В свою очередь

Получаем:

Тогда:

Определим коэффициенты А, В и С.

Тогда

Приемы операционного исчисления можно также использовать для решения систем дифференциальных уравнений.

Пример4. Решить систему уравнений:

Обозначим - изображения искомых функций и решим вспомогательные уравнения:

Решим полученную систему алгебраических уравнений.

Если применить к полученным результатам формулы

то ответ можно представить в виде:

Как видно, гиперболические функции в ответе могут быть легко заменены на показательные.

Пример5. Решить систему уравнений
при x(0) = y(0) = 1

Составим систему вспомогательных уравнений:

Если обозначить то из полученного частного решения системы можно записать и общее решение: