Tema: Saylanba baqlaw qa’tesi, saylanba toplam za’ru’urli mug’darin aniqlaw ha’m saylap baqlaw na’tiyjelerin tarqatiw usillari

1-mısal. Rayon fermer хojalıǵında 15000 sıyır bar bolıp, tosınanlı saylaw jolı menen (tákirarlanıwshı formada) 1600 sıyır bólip alındı. Tekseriw nátiyjesinde tómendegiler anıqlandı:
Saylanba toplam ushın ortasha jıllıq sawǵandaǵı hám salmaqtaǵı qáteni esaplaymız.
Ortasha jıllıq sawındaǵı ortasha (reprezentativ) qáte tómendegi formula járdeminde anıqlanadı. 𝜇𝑥 = √𝜎2 𝑛
Mısalımız shártinde: 𝜎 = 300 𝑘𝑔, 𝑛 = 1600 sıyır
Conda 𝜇𝑥 = √3002 1600 = ± 300 40 = ±7,5 kg
Rayondaǵı fermer хojalıǵındaǵı sıyırlar esap boyınsha ortashanı esaplawda хaqıyqıy ortasha (3000 kg) dan kóp yamasa azı menen 7.5 kg ǵa ózgerisli dárejede qátege jol qoyıwımız múmkin eken.
Solay etip, rayon boyınsha ortasha jıllıq sawın (𝑥̅) tómendegishe esaplanadı. 𝑥̅=𝑥̃±𝜇𝑥=3000±7,5 𝑥̃−𝜇𝑥≤𝑥̅≤𝑥̃+𝜇𝑥 3000−7,5≤𝑥̅≤3000+7,5 2992,5≤𝑥̅≤3007,5
Demek, rayon boyınsha jıllıq ortasha sawın bir jılda 2992,5 kg menen 3007,5 kg shegarasında boladı. Ulıwma jıllıq ortasha sawın 3000 kg nan kelse, qátelik7,5 kg nan aspaydı.
Násilli sıyırlardıń salmaǵın anıqlawda jol qoyılǵan ortasha reprezentativ qáte tómendegi formula jardeminde anıqlanadı: 𝜇𝜔=√𝜔(1−𝜔)𝑛 Mısalımız shártinde: 𝜔=0,8; 𝑛=1600; Sonda 𝜇𝜔=√0,8∙(1−0,8)1600=√0,8∙0.21600=√1,161600=0,01 yaki 1% Bul jerde rayon boyınsha násilli sıyırlardıń salmaǵı (p) tómendegishe anıqlanadı: 𝜔−𝜇𝜔≤𝜌≤𝜔−𝜇𝜔 0,80−0,01≤𝜌≤0,80+0,01 0,79≤𝜌≤0,81 Demek, rayon boyınsha násilli sıyırlardıń salmaǵı 79 procentten 81 procentke deyin bolǵan aralıqta boladı eken, basqasha aytqanda, násilli sıyırlardıń salmaǵı 80 procent dep alsaq, qátelik 1 procentten aspaydı. 2-Másele. Bólek meхanikalıq saylaw usılı menen kárхana jumısshılarınan 500 adam (5 procent ) tákirarlanbaytuǵın formada saylap alınǵan.

Baqlaw maǵlıwmatları sonı kórsetedi, tańlawdaǵı jumısshılardıń ortasha jumıs stajı 10 jıl, is stajınıń ortasha kvadratlıq ózgerisi 4,1 jıl hám jumıs stajı 15 jıldan joqarı bolǵan 125 jumısshılardıń salmaǵı 60 procent eken. Berilgen maǵlıwmatlarǵa tiykarlanıp ortasha miynet хaqıdaǵı hám salmaǵındaǵı ortasha qáteni esaplaymız.

Kárхanadaǵı barlıq jumısshılar sanı:
𝑁 = 𝑛∙100 5 = 500∙100 5 = 10000 adam
Miynet stajınınıń ortasha qátesi:
𝜇𝜔 = √𝜔(1−𝜔) 𝑛 ∙ (1 − 𝑛𝑁) = √4,12 500 ∙ (1 − 500 10000) = 0,18 jıl
Tańlamalı toplam ushın esaplanǵan ortasha (10 jıl) barlıq jumısshılar ushın esaplanıwı kerek bolǵan ortashadan kóbi yamasa azı menen 0,18 jılǵa ózgeris boladi eken. 𝑥̃ − 𝜇𝑥̃ ≤ 𝑥̅ ≤ 𝑥̃ + 𝜇𝑥̃ 10 − 0,18 ≤ 𝑥̅ ≤ 10 + 0,18 9,92 ≤ 𝑥̅ ≤ 10,18
Miynet stajı 15 jıldan joqarı bolǵan jumısshılardıń tańlamalıdaǵı salmaǵı 60 procent yamasa = 60 procent. Onı anıqlawda ortasha qáte: 𝜇𝜔 = √𝜔(1 − 𝜔) 𝑛 ∙ (1 − 𝑛𝑁) = √0,60 ∙ (1 − 0,60) 500 ∙ (1 − 500 10000) = 0,675 
yaki 6,75 procentti quraydı.
Salmaq qátesiniń shegarası: 𝜔 − 𝜇𝜔 ≤ 𝜌 ≤ 𝜔 + 𝜇𝜔 60 − 6,75 ≤ 𝜌 ≤ 60 + 6,75 53,25 ≤ 𝜌 ≤ 66,75 Demek, bas toplam salmaǵı menen tańlamalı toplam salmaǵı ortasındaǵı reprezentativ qáte 53,25 penen 66,75 ortasında bolıp, 6,75 procentti kuraydı Tańlamalı kóp márte qaytalansa tańlamalı toplamnıń ulıwmalastırıwshı nátiyjeleri menen bas toplam nátiyjeleri Eger hár bir anıq jaǵdayda tańlamalı baqlaw bir márte ótkizilip, alınǵan nátiyjelerdi bahalaw máseleleri tuwılǵan bolsa, ol jaǵdayda P(t) itimal (isenim darejesi) menen qátelerdiń joqarı shegaraların anıqlaw usılı arqalı jol qoyılıwı múmkin bolǵan qáte esaplanadı: Δ𝑎= 𝑡 ∙ 𝜇𝑎
Demek, ıqtıyarlı saylanba kórsetkish (a) qátesiniń joqarı shegarası (Δa) onıń ortasha qátesi (μ) menen isenim koeffecentiniń (t) kóbeymesine teń.
P() itimallıq penen isenim koefficienti (t) ortasındaǵı baylanıs akademik t
ortasındaǵı ortasha ózgeris, matematikada dáliylengenindey, ortasha kvadratlıq ózgeris arqalı sıpatlanadı: 𝜇𝑥 = √𝜎2 𝑛 hám 𝜇𝜔 = √𝜔(1−𝜔) 𝑛
A.M. Lyapunovtıń formulası jardeminde anıqlaw múmkin: 𝑃(𝑡) = 1 √2𝜋 ∫ 𝑒−𝑡2 2 𝑑𝑡 𝑡 −𝑡
Bul jerde t tańlamalı toplam ortashası menen bas toplam ortashası ortasındaǵı parqtın (𝑥̃ − 𝑥̅) ortasha kvadratlıq ózgeriske () bólingenine teń: 𝑡 = (𝑥̃ − 𝑥̅) 𝜎
Isenim koefficientiniń berilgen mánisleri ushın itimallıqlardı esaplaw processin ańsatlastırıw maqsetinde olar ortasındaǵı baylanıstı хarakterleytuǵın keste dúzilgen. Bul berilgen isenim koefficientine sáykes itimallıqtı hám kerisinshe qálegen itimallıqqa sáykes keletuǵın isenim koefficientin anıqlaw imkaniyatın beredi. Praktikalıq yamasa okıw máseleleri sheshilgende isenim koefficientiniń tiykarınan tómendegi mánisleri keń qollanıladı:

t	1,00	1,96	2,00	2,	3,00
P(t)	0,683	0,950	0,954	0,990	0,997

Kesteden saylanbanıń muǵdarı (n) jeterli úlken bolǵan jaǵdayda ǵana paydalanıw múmkin.

Eger saylanba toplamnıń muǵdarı n 30 bolsa, ol kishi saylanba toplam dep ataladı. Kishi saylanba toplamlar ushın itimallıq tek isenim koeffecentine emes yaǵnıy saylanba toplamnıń muǵdarına da baylanıslı anıqlanadı. Mıselen n = 10 bolǵanda:

t	1	2	3
P(t)	0,657	0,923	0,985

P = 0,683 itimallıq dárejesi menen 1 márte emes, bálki 1000 márte saylaw ótkizilgen bolsa sonnan 683 márte bas toplam ortashası hám salmaǵı saylanba toplam ortashası hám salmaǵınan t=1 muǵdardaǵı parq (μ) menen ózgeriste boladı. Qalǵan 317 mártesinde ortasha hám salmaq ol shegaradan sırtqa shıǵıwı múmkin. Itimallıq dárejesin asırıw ushın jol qoyılıwı múmkin bolǵan qáte shegarasın úlkeytiw kerek. Bunıń ushın t mánisindegi ózgeristi 2 márte asırsaq (yaǵnıy 2μ dep) onda t=2 hám 100 ret tańlawdan 954 mártesinde bas toplam salmaǵı hám ortashası saylanba toplam ortashası hám salmaǵınan 2 márte úlkenliktegi ózgeristen joqarı ózgeriste bolmaydı. Qalǵan 46 mártesinde ortasha hám salmaq ol shegaradan sırtqa shıǵıwı múmkin. Eger ortasha qáte 3 márte asırılsa (yagnıy 3μ dep qabıllansa) onda t=3 ge teń bolıp, itimallıq dárejesi 0,997 ge asadı.
Sonlay etip, qáte shegarası keńeyiwi menen itimallıq dárejesi asıp baradı hám barǵan sayın 1 sanına jaqınlasadı. Tańlamalı toplamda jol qoyılıwı múmkin bolǵan qáteler tómendegishe anıqlanadı. Mısal. Qalada 2500 shańaraq jasaydı. Barlıq shańaraqtaǵı balalardıń ortasha sanın anıqlaw maqsetinde 2 procent saylaw tosınnan tákirarlanbaytuǵın usılda ótkiziledi. Nátiyjede tómendegi maǵlıwmatlar alınadı.

Shan’araqtag’i balalar sani	0	1	2	3	4	5
Shan’araq sani	2	10	20	12	4	2

0,997 itimallıq dárejesi menen bas toplam, yaǵnıy qala boyınsha ortashanıń saylanba toplam ortasha muǵdarınan qansha ózgeriste ekenligin anıqlymız. 𝑥̅=𝑥̃±Δ𝑥̃ Máseleni sheshiw ushın eń aldın saylap alınǵan toplamdaǵı shańaraqlarda ortasha balalar sanı (𝑥̃) hám ortasha kvadrat ózgerisin 𝜎̃2 esaplaymız. Bul ushın tómendegi kesteni dúzemiz. Jol qoyılıwı múmkin bolǵan qáte tosınnan tákirarlanbaytuǵın usılda tómendegishe usılda esaplanadı:Δ𝑥̃=𝑡√𝜎̃2𝑛(1−𝑛𝑁)=3√1,1550(1−502500)=3√0,023∙0,98=3∙0,14≈0,4 adam Demek, usı qalada barlıq shańaraqlardaǵı balalardıń ortasha sanı tómendegishe eken: 𝑥̃−Δ𝑥̃≤𝑥̅≤𝑥̃+Δ𝑥 2,2−0,4≤𝑥̅≤2,2+0,4 1,8≤𝑥̅≤2,4 0,997 itimallıq penen sonı aytıw múmkin, qaladaǵı shańaraqlarda balalarınıń ortasha sanı 1,8 den 2,4 ge deyin ózgeredi.

Jol qoyılıwı múmkin bolǵan qáteni esaplaw tártibini tómendegi mısalda kórip shıǵamız. Mısal shártine qarap R= 0,954 itimallıq dárejesi menen qaladaǵı 2-3 balalı shańaraqlar salmaǵındaǵı qáte shegarasın anıqlaymız: