Тема-7 Понятие функции. Способы задания функции и свойства

Тема-7-8. Понятие функции. Способы задания функции и свойства.


Отображение
Пусть X и Y - два произвольных множества.
Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества X сопоставляется элемент из множества Y, называется отображением. Обозначение отображения из множества X в множество Y: X Y.
Множество X называется областью определения отображения и обозначается X=D(f). Множество E(f) называется множеством значений отображения, и E(f)={y∈Y| ∃x∈X, y=f(x)}. Множество Γ(f) называется графиком отображения: Γ(f)={(x,y)∈X×Y| y=f(x), ∀x∈X, y∈Y}.
Пусть f - некоторое отображение из множества X в множество Y. Если x при этом отображении сопоставляется y, то y=f(x). При этом y называется образом x, или значением отображения f в точке x. А x, соответственно, прообразом элемента y.
Исходя из определения отображения, видно, что не требуется, чтобы все элементы в множестве Y являлись образами какого-либо x и при том единственного.
1) 2) 3) 4)
1), 3), 4) – отображения, 2) – не отображение!


Функция
Пусть X и Y - два произвольные числовые множества.
Определение. Если ∀x∈X поставлен в соответствие единственный элемент y∈Y, то говорят, что на множестве X задана функция с множеством значений в Y.
Записывается: f: X→Y, y=f(x) (где f – закон, осуществляющий соответствие) и называется:
Множество X называется областью определения функции и обозначается X=D(f), множество E(f) называется множеством значений функции, и E(f)={y∈Y| ∃x∈X, y=f(x)}.
Вещественные функции вещественного аргумента делятся на элементарные и неэлементарные.
Определение. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой y=f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.