Тема 5 плоский поперечный изгиб. Расчет балок на прочность

Пример 5.5. Прямоугольное сечение. Определить величину касательных напряжений (в МПа) при изгибе в точке К поперечного сечения (Рис.5.13), если поперечная сила кН. Найти максимальные касательные напряжения в сечении и построить эпюру распределения касательных напряжений по высоте сечения.

Решение:

1. Сначала получим закон распределения касательных напряжений по высоте сечения. Для этого возьмем произвольную точку К, отстающую от нейтральной линии сечения на расстоянии (Рис.5.13).

Рис.5.13

Проведем через эту точку сечение параллельно оси ; ширина этого сечения будет . Статический момент площади отсеченной (заштрихованной) части равен


; ,

следовательно,

.

Как известно,

.

Подставляя полученные значения в формулу (5.22), получим:

. (5.23)

Формула (5.23) показывает, что касательные напряжения по высоте сечения изменяются по закону квадратной параболы. При получим , а при будем иметь

. (5.24)

На рис 5.13 дан общий вид эпюры , при построении которой ординаты, численно равные касательным напряжениям, отложены перпендикулярно прямой, параллельной оси .

2. Найдем численное значение величины максимальных касательных напряжений и касательных напряжений, действующих в точке К. Пусть координата точки К равна . Воспользуемся выражением (5.23):


МПа.

Максимальные напряжения найдем из формулы (5.24):

МПа.


Пример 5.6. Двутавровое сечение. Определить касательные напряжения в указанных точках сечения и построить эпюру касательных напряжений при величине поперечной силы кН (Рис.5.14).



Рис.5.14

Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины сечения при переходе от стенки двутавра к его полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая ее величина.

Покажем, как определяется статический момент площади для любой произвольной точки сечения двутавра. Для этого рассмотрим произвольную точку К (Рис.5.15). Проведем через эту точку линию, параллельную оси . Статический момент площади верхней отсеченной части (заштрихованой на рис.5.15) может быть найден как сумма статических моментов двух площадей и :


. (а)

Рис.5.15

Наибольшей величины статический момент площади отсеченной части относительно нейтральной линии сечения достигает для половины сечения. Следовательно, максимальные касательные напряжения возникают в волокнах нейтрального слоя.
Вернемся теперь к рис.5.14. Точка №1 сечения принадлежит наиболее отдаленному волокну. Точки №2 и №3 лежат в месте перехода от полки к стенке: точка №2 принадлежит полке, точка №3 – стенке сечения. Точка №4 лежит в центре тяжести сечения и принадлежит нейтральной линии сечения. Сечение симметрично расположено по отношению к оси . Поэтому напряжение в точке №5 будет таким же, как в точке №3, напряжение в точке №6 – таким же, что и в точке №2, напряжение в точке №7 – таким же, что и в точке №1.
Вначале найдем момент инерции сечения относительно оси :


см⁴.

Касательное напряжение в точке №1 поперечного сечения равно нулю, так как отсеченная часть сечения в данном случае представляет собой пространство над сечением, и ввиду отсутствия отсеченной площади, статический момент этой площади равен нулю. С другой стороны, если в качестве отсеченной площади рассматривать все сечение, то статический момент всей площади относительно нейтральной линии сечения , как центральной оси, равен нулю.

Для определения касательного напряжения в точке №2 проводим через точку №2 линию, параллельную оси . Отсеченная площадь лежит выше этой линии и составляет см². Вычисляем расстояние от центра тяжести отсеченной площади до оси . Оно равно 11см. Находим касательные напряжения в точке №2:
Мпа.

При определении касательного напряжения в точке №3 следует помнить, что статический момент площади отсеченной части в этом случае остается прежним, так как точки №2 и №3 находятся на одинаковом расстоянии от оси . Только точка №2 принадлежит полке, а точка №3 принадлежит стенке двутавра. В связи с этим касательное напряжение в точке №3 будет равно:

Мпа.

Для определения напряжения в точке №4, проведем через эту точку линию, совпадающую с осью . Отсеченная площадь представляет собой тавр. Статический момент площади тавра вычислим, используя выражение (а), приведенное выше. В нем представляет собой площадь полки,  площадь половины стенки;  расстояние от центра тяжести полки до оси ;  расстояние от центра тяжести половины площади стенки до оси . Касательные напряжения в точке №4 будут равны:

Мпа.

Как уже отмечалось выше, в силу симметрии МПа, МПа; .

Откладываем найденные значения касательных напряжений от базисной линии и строим эпюру касательных напряжений (Рис.5.14).