Текисликда аналитик геометрия элементлари

Уз-узини текшириш учун саволлар.

1. 
   Аник интегралда узгарувчининг алмаштириш усули нимадан иборат?
   
2. 
   Аник интегралда буйлаб интеграллаш усули нимадан иборат?
   
3. 
   Аник интегрални такрибий хисоблаш учун тугритурутбурчаклар формуласини ёзинг.
   
4. 
   Аник интегрални такрибий хисоблаш учун трапециялар формуласини ёзинг.
   
5. 
   Аник интегрални такрибий хисоблаш учун Симпсон формуласини ёзинг.
   

18-МАЪРУЗА
АНИК ИНТЕГРАЛНИ ГЕОМЕТРИК ТАДБИКИ.
ЮЗАЛАРНИ ХИСОБЛАШ.
РЕЖА
1. Аник интегралнинг геометрик тадбики. Юзаларни хисоблаш.
2. Аник интегралнинг жисмлар хажмини хисоблашга тадбики.


ТАЯНЧ ИБОРАЛАР
Эгри чизикли трапециянинг юзи, юзани кутб координаталар системаси, цилиндрик жисмларнинг хажми.


1. Аник интегралнинг геометрик тадбики. Юзаларни хисоблаш.




1-расм
Юзни декарт координаталарида хисоблаш.

Агар y=f(x) функция [a, b] сегментда узлуксиз ва мусбат булса, у холда асоси [a, b] булган ва юкоридан бу функциянинг графиги билан чегараланган эгри чизикли трапециянинг юзи

S= f(x)dx= ydx(1)
формула билан топиш мумкин.

Энди [a, b] сегментда f(x)<0 булсин (2 расм). Асоси [a, b] булган, куйидан y=f(x) эгри чизик билан чегараланган эгри чизикли трапеция 0х укидан пастда ётади.

2-расм.
Симметрия хакидаги тасаввурларимизга кура унинг S юзи уша асосга эга булган, лекин юкоридан y=-f(x) эгри чизик биланг чегараланган эгри чизикли трапеция юзига тенг. f(x)<0 булгани учун -f(x)>0 ва (1) формулани кулланиб, куйидагини топамиз.
S= [-f(x)]dx=- f(x)dx (2)
(1) ва (2) формулаларни битта формула килиб бирлаштириш мумкин
S= |f(x)|dx (3)
Бу формула f(x) функциянинг [a, b] сегментда ишораси узгарадиган булганда хам, яъни у бу сегментда мусбат кийматларни хам, маний кийматларни хам кабул килганда хам уринли булиб колади.
Агар y₁=f₁(x) ва y₂=f₂(x) эгри чизиклар хамда х=а ва х=b тугри чизиклар билан чегараланган фигуранинг юзини хисоблаймиз, у холда f₁(x) f₂(x) шарт бажарилган фигуранинг юзи S= f₁(x)dx- f₂(x)dx= [f₁(x)-f₂(x)]dx



3-расм.

Агар эгри чизикли трапециянинг юзи х=(t), х=(t) параметрик шаклда берилган чизик билан чегараланган булса (t[, ] ва ()=а, ()=b) у холда бу тенгламалар [a, b] кесмадаги бирор у=f(x) функцияни аниклайди (4-расм).

4-расм.

Эгри чизикли трапециянинг юзи уdx формула буйича хисоблаш мумкин. Бу интегралда узгарувчини алмаштирамиз:

x =  ( t ) ; dx=`(t)dt
у = f ( x ) = f (  ( t ) ) =  ( t )
 =  (  ), b =  (  )
S=  ( t )  `( t ) d t . Бу формула чизик периметрик тенгламалар билан биргаликда эгри чизикли трапециянинг юзини хисоблаш формуласидир.
Фигуралар юзларини кутб координаталарда хисоблаш.
АВ эгри чизик кутб координаталарида (х=cos, у=sin() =() формула билан берилган булсин, бунда () функция [, ] кемада узлуксиз.
=() тенглама билан берилган эгри чизик ва кутб уклари билан  хамда  бурчак хосил килувчи икки =, = нур билан чегараланган фигурани эгри чизикли сектор деб атайлик.
Эгри чизик секторнинг АОВ S юзи аник интегралга тенг. Яъни
S= [()]²d