Tekislik va fazoning analitik geometriyasi

Mavzu: Tekislik va fazoning analitik geometriyasi

Reja:

1. Kirish

2. Ikki nuqta orasidagi masofa

3. Fazoda tekislik va uning xossalari

4. Fazoda to’g’ri chiziq va uning tenglmasi

5. Fazoda tekislik va to’g’ri chiziqlarga oid masalalar

1) Tekislikda analitik geometriyaning asosiy tushunchalari va sodda masalalari bilan tanishdik.Ma’lumki, bizni o’rab turgan borliq (uch o’lchovli fazo) bo’lib, bizga ko’rinib turgan real jismlar shu fazoda ma’lum bir o’rinni egallaydi. Fazoda ularning holatini aniqlash uchun xuddi tekislikdagi kabi Dekart koordinatalar sistemasi kiritiladi. Bizga masshtab birligi bilan berilgan o’zaro perpendikulyar hamda bitta 𝑂 nuqtada kesishuvchi 𝑂𝑥,𝑦, 𝑂𝑧 to’g’ri chiziqlar sistemasi berilgan bo’lsin. Odatda bu sistema fazoda Dekart koordinatalar sistemasi deyiladi va 𝑂𝑥𝑦𝑧 kabi belgilanadi. 𝑂 nuqta koordinatalar boshi, 𝑂𝑥 −abstsissalar o’qi, 𝑂𝑦 −ordinatalar o’qi, 𝑂𝑧 −applikatalar o’qi deyiladi. Fazoda biror 𝐴 nuqtaning holati uning 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 o’qlarga proektsiyalari −(𝑥, 𝑦, 𝑧) uchlik bilan to’la aniqlanadi.

2) Ikki nuqta orasidagi masofa fazoda Dekart koordinatalar sistemasi va 𝐴 𝑥1, 𝑦, 𝑧1 , 𝐵 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 nuqtalar berilgan. Bu nuqtalar orasidagi masofani topamiz. 𝐴1 va 𝐵1 nuqtalar mos ravishda 𝐴 va 𝐵 ning 𝑂𝑥𝑦 tekislikdagi proektsiyalari bo’lsin. Tekislikda ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra 𝐴1𝐵1 = (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 bo’ladi. 𝐴 nuqtadan 𝐴1𝐵1 kesmaga parallel chiziq o’tkazib, uni 𝐵2 bilan belgilaymiz. U holda 𝐵𝐵2 kesmaning uzunligi 𝑧2 − 𝑧1 ga teng. 𝐴𝐵 = (𝐴𝐵2) 2 + (𝐵𝐵2) 2 = = (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 + (𝑧2−𝑧1) 2

3. Fazoda tekislik va uning tenglamasi Faraz qilaylik, fazoda Dekart koordinatalar sistemasi, 𝑃 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 hamda 𝑄(𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) nuqtalar berilgan bo’lsin. Bu ikki nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni tekislikni ifodalaydi. Bu tekislikda ixtiyoriy 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 nuqtani olaylik. Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko’ra 𝑀𝑃 = (𝑥 − 𝑎1) 2+(𝑦 − 𝑏1) 2+(𝑧 − 𝑐1) 2 , 𝑀𝑄 = (𝑥 − 𝑎2) 2+(𝑦 − 𝑏2) 2+(𝑧 − 𝑐2) 2 bo’ladi. Agar 𝑀𝑃 = 𝑀𝑄 bo’lishini e’tiborga olsak, unda (𝑥 − 𝑎1) 2+(𝑦 − 𝑏1) 2+(𝑧 − 𝑐1) 2= = (𝑥 − 𝑎2) 2+(𝑦 − 𝑏2) 2+(𝑧 − 𝑐2) 2 Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshiramiz: 𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2 − 2𝑎1𝑥 − 2𝑏1𝑦 − 2𝑐1𝑧 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = = 𝑎2 2 + 𝑏2 2 + 𝑐2 2 − 2𝑎2𝑥 − 2𝑏2𝑦 − 2𝑐2𝑧 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 Bu tenglikni quyidagicha ham yozish mumkin. 2(𝑎2−𝑎1)𝑥 + 2(𝑏2−𝑏1)𝑦 + 2(𝑐2−𝑐1)𝑧 + +𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2 − 𝑎2 2 − 𝑏2 2 − 𝑐2 2 = 0 𝐴 = 2(𝑎2−𝑎1), 𝐵 = 2(𝑏2−𝑏1), 𝐶 = 2(𝑐2−𝑐1), 𝐷 = 𝑎1 2 + 𝑏1 2 + +𝑐1 2 − 𝑎2 2 − 𝑏2 2 − 𝑐2 2 belgilashlarni kiritsak, ushbu 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 tenglamaga kelamiz.Bu tenglama fazoda tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi.

Bu yerda 𝐴, 𝐵, 𝐶, o’zgarmas sonlar bo’lib, ular tekislikning fazodagi vaziyatini to’la aniqlaydi. Endi tenglamaning xususiy hollarini qaraylik.

1 ° . 𝐴 ≠ 0, T𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 = 0 bo’lsin. U holda 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0 tenglama hosil bo’lib, bu tenglama bilan aniqlangan tekislik koordinatalar boshi (0,0,0) nuqtadan o’tadi.

2 ° . 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0,𝐷 ≠ 0, 𝐶 = 0. Bu holda biz 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐷 = 0 tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama bilan aniqlangan tekislik 𝑂𝑧 o’qiga parallel tekislikdir.

3 ° . 𝐴 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 ≠ 0, 𝐵 = 0. Bu holda 𝐴𝑥 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 tekislik 𝑂𝑦 o’qiga parallel tekislikdir.

4 ° . 𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 ≠ 0, Bu holda 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 tekislik 𝑂𝑥 o’qiga parallel tekislikdir.

5 ° . 𝐴 = 0, 𝐵 = 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 ≠ 0. U holda (1) tenglama 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 ko’rinishga ega bo’lib, u 𝑂𝑥𝑦 kordinatalar tekisligiga parallel tekislikdir.

6 ° . 𝐴 = 0, 𝐶 = 0, 𝐵 ≠ 0,𝐷 ≠ 0. U holda (1) tenglama By+𝐷 = 0 ko’rinishga ega bo’lib, u 𝑂𝑥𝑧 kordinatalar tekisligiga parallel tekislikdir.