Tekis kesimlarning geometrik xarakteristikalari

Kvadrat rasmidagi kesimning inersiya momenti. Kvadrat rasmidagi kesim uchun a=b=h
Tekis kesim yuzidan markaziy U_s va Z_s o‘qlarga nisbatan olingan inersiya momentlarining qiymatlari J_y,J_z, J_yz deb olgan edik. Endi tekis kesim yuzining markaziy o‘qlarga parallel va ulardan a,b oraliqlarda bo‘lgan OU va OZ, o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz (chizmaga qarang).


z₁

z_c





c

z_c


y_c

y_c


z₁

a



y₁

0

b

y₁

8.1.1-rasm

Tekis kesim yuzidan ajratilgan dF elementar yuzachaning oldingi va yangi o‘qlarga nisbatan koordinatalari orasidagi munosabatlarni yozamiz:

Tekis kesim yuzining OU va OZ. o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini ( 1) va (4) formulalar yordamida aniqlaymiz:

Hosil bo‘lgan ifodalarning o‘ng qismidagi birinchi integralar markaziy o‘qlarga nisbatan olingan inersiya momentaridir:

integrallar esa markaziy o‘qlarga nisbatan olingan statik momentlardir. Bunday statik momentlar nolga tengligini avval qayd qilgan edik. SHunday qilib, yuqoridagi ifodalar quyidagicha yoziladi:

Bu formulalar o‘qlar o‘z-o‘ziga parallel (5) qilib, ko‘chirilganda inersiya momentlarining o‘zgargan qiymatlarini hisoblash formulalaridir.

8.1.2. Koordinata o‘qlari burilganda inersiya momentlarining o‘zgarishi. Yuzi F bo‘lgan tekis rasm uchun UOZ koordinatalar sistemasini ixtiyoriy ravishda olamiz (chizmaga qarang). OU va OZ o‘qlariga nisbatan inersiya momentlari I_u, I_z, I_yz hisoblangan bo‘lsin.

Koordinatalar siste-masining OU va OZ o‘qlarini soat Z1 strelkasining yurishiga teskari tomonga qarab biror a burchakka buramiz. Bunday burilgan a burchak musbat deb qaraladi. Tekis kesimning hosil bo‘lgan yangi koordinatalar sistemasi U1OZ1 ga nisbatan inersiya momentlari Iy,Iz va Iy,z, larni aniqlaymiz. Buning uchun eski va yangi o‘qlarga nisbatan

8.1.2-rasm

koordinatalar orasidagi munosabatlarni aniqlaymiz:

Bu tengliklardan foydalanib, tekis kesim yuzining yangi o‘qlariga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz:
yoki
Huddi shuningdek:
bo‘ladi
Endi markazdan qochirma inersiya momentini hisoblaymiz:

SHunday qilib:

(9) va (10) tenglamalarni qo‘shsak quyidagi ifoda hosil bo‘ladi:

kelib chiqadi:
(8.1.7) formuladan ko‘rinib turibdiki, o‘zaro tik o‘qlar burilganda bu o‘qlarga nisbatan olingan inersiya momentlarining yig‘masi o‘zgarmas miqdor bo‘lib, qutb inersiya momentiga tengdir. (8.1.6) munosabatdan y,z va y₁ va z₁ o‘qlariga nisbatan ekvatorial inersiya momentlari ma’lum bo‘lgan xolda y₁, z₁ o‘qlarga nisbatan olingan markazdan qochirma inersiya momentini aniqlash mumkin bo‘ladi.