|
QPC
ekanligini o`rsatadi.
2.
ABC
uchburchakda
2
B
C
va
A
burchak bissektrisasi
BC
tomonni
D
nuqtada kesadi. Agar
AB
CD
bo`lsa,
A
burchak kattaligini toping.
Javob: 72 .
137
Aytaylik,
,
AB
CD
a
C
va
2
A
bo`lsin. U holda,
,
2
CAD
BAD
B
va
ADB
bo`ladi.
ACD
va
ABD
uchburchaklarga sinuslar teoremasini qo`llab,
sin
sin2
sin
sin(
)
AD
AD
DC
AB
tenglikni hosil qilamiz. Bundan 2sin cos
sin(
)
, ya’ni tg
tg
tenglikni topamiz.
Agar
0
,
90
ni hisobga olsak,
bo`ladi. U holda,
2
2
5
180
tenglikdan
36
,
2
72
A
bo`ladi.
3.
ABC
uchburchakning
,
BC CA va
AB
tomonlarida ularni : (1
)
t
t
nisbatda
bo`ladigan
,
P Q va
R
nuqtalar mos ravishda olingan.
,
AP BQ va
CR
kesmalardan yasalgan uchburchakning yuzini
ABC
uchburchakning yuziga
nisbatini toping.
Yechish:
AB
tomonning davomida
AR
BX
bo`ladigan
X
, AC ning davomida
esa QC
CY
bo`ladigan
Y
nuqtalarni tanlaymiz.
BX
CY
y
AB
AC
dan ABC
uchburchak
AXY
ga o`xshash bo`ladi va
||
XY BC
,
1
XY
t
BC
. xy kesmada
BP
XZ
bo`ladigan
Z
nuqta olaylik. U holda,
RXZ
ABP
va
AP
RZ
.
1
XY
t
BC
va
XZ
BP
t
BC
BC
dan
1
1
ZY
t
t
BC
va ZY
BC
. CZY
CBQ
tenglikdan BQ
ZC
. Demak tomonlari
,
AP BQ
va
CR
bo`lgan
uchburchak
RZC
uchburchakdir.
2
(1
)
AXY
ABC
S
t S
,
ARC
RXZ
ZYC
ABC
S
S
S
t S
,
u
holda,
2
((1
)
3 )
RZC
AXY
ARC
RXZ
ZYC
ABC
L
S
S
S
S
S
t
t S
.
Demak,
2
1
ABC
L
t
t
S
.
138
4. Tomoni
a
ga teng bo`lgan muntazam
ABC uchburchakning BC va
AB
tomonlarida
DAC
ECA
bo`ladigan qilib
D
va
E
nuqtalar olingan. Agar
AD
va
CE kesmalar
F
nuqtada kesishsa, xamda
AFC uchburchak va
BDFE
to`rtburchakka ichki chizilgan aylana radiuslari teng bo`lsa, bu radius uzunligini
toping.
Yechish:
P
nuqta
AB
kesmaning o`rtasi
1
AB
bo`lsin.
ABD
va
ABP
uchburchaklar uchun Menelay teoremasini qo`llaymiz.
1
1
1
1
x
DF
x
x FA
,
;
DF
EF
x
FA
FC
1
1
2
1
1
x BF
x
FP
,
2
1
BF
x
FP
x
oxirgi tenglikdan
3(1
)
2(1
)
x
FP
x
.
Agar
AF
bo`lsa,
DF
x
EF
va
FC
bo`ladi.
,
,
AFR
AFE
BEF
S
R S
P S
Q
bo`lsin.
1
2
,
1
P
x
P
Q
BF
x
Q
x
R
FP
x
va
2
2
1
Q
x
R
x
2
(1 2 ), 2
(2
2
)
AFC
BEFD
S
r
S
r
x
x
va
BEFD
AFC
S
Q
S
R
tengliklarga
ko`ra
1 2
3
1
x
x
. To`ғri burchakli
APF
uchburchakda
2
2
2
AP
FP
. Bu tenglikdan
2
2
1
3 1
1 2
4
4 1
3
1
x
x
x
x
, ya’ni
2
(
1)(5
14
5)
0
x x
x
x
, 0
1
x
. Bundan
(7
2 6)
5
x
.
AFC
FP
S
BP
ABC
S
va yarim perimetrni ichki chizilgan aylana
radiusiga ko`paytmasiga tengligidan
(1 2 )
1
3 1
2
2
2
1
r
x
x
.
Demak,
3 1
1
3
2
2
1
1 2
2
x
r
x
. Uchburchak tomonini bir deb
hisoblaganimiz uchun
r
ni a ga ko`paytirib qo`yamiz.
Javob:
3
2
2
r
a
.
5. Chegarasi
AB
to`g`ri chiziq bo`lgan yarim tekislik-dagi
P
va Q nuqtalardan
AB
to`g`ri chiziqqa
PA
va QB perpendikulyar kesmalar tushirilgan bo`lib, AQ va
PB kesmalar M nuqtada kesishadi. M nuqtadan
AB
to`g`ri chiziq-qacha bo`lgan
masofa 8 ga teng.
AP
va BQ kesmalar uzunliklarining qanday butun qiymatlarida
BQM uchburchak yuzi eng katta bo`ladi?
139
Javob:
9,
72
AP
BQ
.Aytaylik,
M
nuqtadan
AB
to`g`ri chiziqqa tushirilgan
perpendikulyarning asosi
N ,
,
,
AN
a NB
b AP
m
va BQ
n
bo`lsin.
U holda, AMN va
NMB hamda AMN va AQB uchburchaklar mos ravishda
o`xshash bo`lganligidan
8
a
a b
n
va
8
b
a
b
m
tengliklarni hosil qilamiz. Bu
tengliklardan
8
8
1,
8
8 ,
mn
m
n
m
n
64
(
8) 8 ,
8
8
n n
m n
m
bo`ladi. Agar
8
m
MN
va
,
n
N m
N
larni hisobga olsak
8 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64
m
yoki
9; 10; 12; 16; 24; 40; 72
m
va mos ravishda
72; 40; 24; 16; 12; 10; 9
n
bo`ladi.
BQM
AQB
AMB
S
S
S
1
1
8
(
8)
2
2
2
AB
n AB
AB
n
. Demak, BQM
uchburchakning yuzi eng katta bo`lishi uchun
72
n
bo`lishi kerak.
6. To`g`ri burchakli
ABC uchburchakda
K
nuqta
AB
gipotenuzada yotadi.
CK
kesmani diametr qilib aylana chizilgan. Bu aylana BC va AC katetlarni mos
ravishda
L
va
M
nuqtalarda kesadi.
ABLM
to`rtburchakning yuzi eng kichik
bo`lishi uchun
K
nuqta qanday tanlanishi lozim?
Javob:
AB
kesmaning o`rtasida.
90
KLC
KMC
LCM
ga ko`ra
,
AKM
BKL
va
ABC
lar
o`xshashdir.
,
,
AC
b BC
a
,
AB
c AK
kc
bo`lsin. U holda,
(1
)
BK
k c
va
uchburchaklarning o`xshashligidan
,
AM
kb
,
LC
KM
ka
(1
) ,
BL
k a
(1
)
MC
KL
k b
.
Demak,
2
2
1
1
1
1
1
3
(
1)
(
1)
((
)
)
2
2
2
2
2
4
ABLM
ABC
LMC
S
S
S
ab
abk k
ab k
k
ab k
140
3
4
ABC
S
. Demak,
3
4
ABLM
ABC
S
S
tenglik
1
2
k
da o`rinli. Shunday qilib,
K
nuqta
AB
ning o`rtasida bo`ladi.
Mavzu bo`yicha ko`chma 4 soatlik amaliy mashg`ulot “Matematika fanini o`qitish
metodikasi” moduli doirasida, talab darajasidagi moddiytexnika bazaga ega va
ilmiy-uslubiy jihatdan tajribali professoro`qituvchilar va mutaxassislar faoliyat
ko`rsatayotgan oliy ta’lim muassasalarining mutaxassislik kafedralari, ilmiy-
tekshirish institutlari va boshqa muassasalarda tashkil etiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
