Tayyorlash va malakasini oshirish instituti

 

 

2 

 

 

 

 

O`ZBEKISTON  RESPUBLIKASI  XALQ  TALIMI  VAZIRLIGI 

FARG`ONA  VILOYAT  HOKIMLIGI  

XALQ  TA’LIMI  BOSHQARMASI 

FARG`ONA  VILOYAT  PEDAGOG  KADRLARNI  QAYTA  

 TAYYORLASH  VA  MALAKASINI  OSHIRISH  INSTITUTI 

MATEMATIKA kurs tinglovchisi 

Yozyovon tumani    32-umumta’lim   maktabi 

MATEMATIKA   fani   o`qituvchisi 

Abdurazzoqov Abdumuxtorning

 

 

 

 

 

Mavzu:  “Kvadrat tenglamalar va ularning echish 

usullari”. 

 

 

Farg’ona   2013 yil. 

MALAKAVIY ISHI 

 

 

3 

 

 

Mavzu:  “Kvadrat tenglamalar ularning yechilish usullari”. 

                    Reja: 

I. Kirish. 

    1.Mustaqillik davrida mamlakatimizda ta‘lim sohasidagi islohatlar. 

    2. Kvadrat tenglamalar va bikvadrat tenglamar haqida tushuncha. 

    3. Kvadrat tenglama ildizlari va ularni topish formulalari. 

II. Asosiy qism. 

    Kvadrat tenglama, bikvadrat tenglamarni yechushni bir necha usullari. 

III. Xulosa. 

Kirish 

Mamlakatimiz 1991 yil mustaqillikka erishgandan boshlab ta’limning rivojlantirish maslasining eng asosiy 

masala sifatida qaraldi. Buning natijasida 1992 yil “Ta’lim to‘g‘risidagi” qonun qabul qilindi. 

 

Bu  qonunga  asosan  O‘zbekistonda  ta’limning  yo‘lga  qo‘yishdagi  dastlabki  qadam  qo‘yildi.  1991  yil 

avgustda O‘zbekistonda “Ta’lim to‘g‘risidagi” qonun va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturlari” qabul qilindi. 

 

Respublikamizda  Xalq  ta‘limini  rivojlantirishni  va  qayta  isloh  qilish  sohasida  bir  qator  qonun  qaror  va 

farmonlar qabul qilindiki, bu hujjatlar xalq ta’limining rivojlantirishning  bosh vazifalari, yo’nalishlari va bosqichlari 

ko’rsatib  berildi.  Ana  shunday  vazifalardan  biri  ta’lim  tizimida  o’quv  qo’llanmalari  va  o’quv  dasturlaridir.  Ularni 

takomillashtirish, hozir maktablarning V-IX sinf darsliklarida takomillashtirilgan, qayta ko’rib chiqilgan darsliklardir. 

O’rta  maktablarning  “VIII  sinf  algebra”  kursi  (mualliflari  Sh.  Alimov,  O.  Xolmuhammedov,  M.  Mirzarahimov). 

Mamlakatimiz  Prezidenti  I.  A.  Karimov  o’qituvchilarni  obro’sini  ko’tarish  maqsadida  1-oktabrni  “Ustoz  va 

murabbiylar kuni” bayrami deb e’lon qildi.  Bu  bayram  umumxalq  bayramiga  aylandi  va  dam  olish  kuni  sifatida 

qabul qilindi. 

 

Prezidentimiz  qaroriga  asosan  2004-2009  yillarda  mamlakatimizda  umumta’lim  maktablarini  capital  va 

joriy remont qilish ishlari boshlab yuborildi va ko’plab maktablar remontdan chiqarildi va ko’plab yangi maktablar 

qurildi. Hozirgi kunda maktablarda o’quvchilarni bilim olishlari uchun yaxshi sharoitlar yaratib berildi. Mustaqillikka 

erishishimiz  bilan  buyuk  allomalarimiz  va  ularni  meroslarini  o’rganishga  e’tibor  berila  boshladi.  Buning  natijasida 

Muhammad al Xorazmiy, Abu Nasr Farobiy, Abu Rayxon Beruniy, Abu Ali ibn Sino, Umar Xayyom, Mirzo Ulug’bek 

singari  buyuk  allomalarimizning  hayotlari  keng  o’rganilmoqda.  Ular  uchun  yodgorliklar  o’rnatildi  va  nomlari 

abadiylashtirildi.  

 

O’rta  maktablarda  “VIII  sinf  algebra”  kursida  (mualliflari  Sh.  Alimov,  O.  Xolmuhammedov,  M. 

Mirzarahimov)  kvadrat  tenglamalar  bobi  uchun  o’quv  reja  bo’yicha  …  soat  ajratilgan.  Kvadrat    tenglamalar  va 

ularning  ildizlari  haqida  tushuncha  berishda  turli  manbalardan  adabiyotlardan  foydalanib  o’quvchilarga 

tushuntirilsa maqsadga muvofiq bo’ladi. 

 

1-masala. 

To’g’ri  to’rtburchakning  asosi  balandligidan  10  sm  ortiq  uning  yuzi  esa  24  sm

2

  ga  teng.  To’g’ri  to’rtburchakning 

balandligini toping. 

 

Yechish:  To’rtburchakning balandligi   x 

 

 

      Uning asosi   x+10 

 

 

4 

Masalani shartiga ko’ra uning yuzi    x(x+10)=24  

Qavslarni ochib    x

2

+10x-24=0    ni xosil qilamiz. 

x

2

+10x-24=x

2

+12x-2x-24=0 

x(x+12)-2(x+12)=(x-2)(x+12)=0 

(x-2)(x+12)=0;     x-2=0;   x+12=0 

 

 

 

x

1

=-12;    x

2

=2 

Javob:  To’g’ri  to’rtburchakning  balandligi  2  sm  gat  eng,  x=-12  soni  masalani  yechimi  bo’la  olmaydi.  Chunki 

kesmaning uzunligi manfiy son bo’la olmaydi. 

 

Bu masalani yechishda kvadrat tenglama deb ataluvchi x

2

+10x-24=0 tenglama hosil qilindi. 

Shunday qilib: 

 

 

ax

2

+bx+c=0  ko’rinishdagi  tenglamalar  kvadrat  tenglamalar  deb  atalishini  o’quvchilarga 

tushuntiriladi va misolllar bilan mustahkamlanadi. 

3x

2

-4x-8=0 

2 x

2

-3=0 

x

2

+5x=0 

12 x

2

=0 

 

ax

2

+bx+c=0 kvadrat tenglamada: a – birinchi koeffitsiyent,  b – ikkinchi koeffitsiyent, c – ozod had. 

Mashxur  shoir  va  matematik  Umar  Xayyom  (1048  –  1123)  asarlarida  ham  kvadrat  tenglamalar  uchraydi.  Al 

Xorazmiy (783 – 850) ning “Al jabr val-muqobala” kitobida kvadrat tenglamaning ba’zi yechimlarini keltirib o’tgan 

(Qodirov O’  tavsiyalari). 

Masala. Noma’lum sonning ikkinchi darajasi va noma’lum sondan 8 tasining yig’indisi 9 ga teng. Shu sonni toping. 

 

Masalaning algebraik ifodasi   x

2

+8x=9 bo’ladi. 

Bu tenglamani Al Xorazmiy o’z asarida quyidagicha bayon etgan va yechimini topgan: 

1) Noma’lum sondan nechta bo’lsa shuning yarmini olamiz:   8:2=4; 

2) Bo’linmaning ikkinchi darajasini olamiz:   4

2

=16; 

3) Hosil bo’lgan songa ozod hadni qo’shamiz:  16+9=25; 

4) Ikkinchi darjasi16+9 yig’indiga teng bo’lgan sonni topamiz – 5; 

5) Undan dastlabki natija 4 ni ayiramiz:  5-4=1; 

6) Javob:  1 

Albatta  tenglamaning ikkinchi ildizi manfiy son Al Xorazmiy zamonida fanga kiritilmagan edi. Xuddi shuningdek 

 

 

 

 

 

 

x

2

-5x=6             

 

 

 

 

 

 

x

2

+6x=7            Javob: (6;-1) 

tenglamalarni ham Al Xorazmiy usuli bilan yechib o’quvchilarga ko’rsatib berilsa, o’quvchilarning qiziqishlari ortadi. 

O’zlari  ham  shu  kabi  masalalarni  tuzishlari  mumkin.  Ana  shu  tushunchalardan  so’ng  o’quvchilarga  kvadrat 

tenglamaning ildizi tushunchasi berilsa, ya’ni kvadrat tenglamada noma’lumning o’rniga qo’yilgan son tenglamani 

to’g’ri tenglikka aylantirsa, u son tenglamaning ildizi deyiladi degan ta’rifni sodda qilib tushuntirish mumkin. 

 

 

5 

 

 

ax

2

=0 

 

 

ax

2

+c=0 

 

 

ax

2

+bx=0 

ko’rinishdagi  tenglamalar  chala  kvadrat  tenglamalar  deyiladi  va  ularning  yechishning  umumiy  qoidalari,  usullari 

ko’rsatib beriladi. 

Misollar: 

 

    5x

2

=0     ko’paytmaning nolga teng bo’lish shartiga asosan: 

 

    x

2

=0               ya’ni (5 bilan x

2

 ning ko’paytmasi nol bo’lishi uchun albatta  

    x=0                ikkinchi ko’paytuvchi nol bo’lishi kerak). 

 

2 – ko’rinishdagi tenglamalarga misollar. 

1) 3x

2

-27=0  /:3                                         2) 2x

2

+7=0   

      x

2

-9=0                                                       x

2

=-

2

7

 

      x

2

=9  (1 – teoremaga ko’ra)                   Bu tenglama haqiqiy ildizga ega emas  

      x

1

=-3;    x

2

=3                                           chunki,   x

2

≥0 

 

           3 – ko’rinishdagi tenglamalar: 

-3x

2

+5x=0 

x(-3x+5)=0 

x

1

=0  va   -3x+5=0;  x

2

=

3

5

         Javob:   (0; 

3

5

) 

Misollar: 

1. 4x

2

-169= 0                                                    2. 

5

3

1

2





x

 

     x

2

=

4

169

                                                          x

2

-1=15;   x

2

=16;     x

1,2

=

4



 

     x=

2

13

4

169







      x

1

=-

2

1

6

;     x

2

=

2

1

6

 

 

3. 3=

4

4

9

2



x

 

     9x

2

-4=12;     9x

2

=16;      

9

16

2



x

 ;      

3

4

9

16

2

,

1









x

 

 

 

6 

     

3

4

1





x

;       

3

4

2



x

 

4.  

0

3

9

2







x

x

;       

0

3

)

3

)(

3

(









x

x

x

;        x+3=0;       x=-3 

5. 

0

2

2

2







x

x

x

;    

0

2

)

2

(







x

x

x

;      x=0 

6.  

1

5

9

2





x

;      9-x

2

=5;     x

2

=9-5;    x

2

=4;  x

1,2

=

2

4







;   x

1

=-2;   x

2

=2 

7.  9x

2

+1=0;     9x

2

=-1;     

9

1

2





x

 yechimi yo’q 

8.   3 x

2

=15;        x

2

=

5

3

15



;      

5





x

;          

5

1





x

;       

5

2



x

 

O’quvchilarga  chala  kvadrat  tenglamalarni  yechishni  tushuntirilgandan  so’ng  kvadrat  tenglamalarni  yechishni 

dastlabki ko’rinishi “To’la kvadratga ajratish”  usuli bilan tanishtiriladi. 

Misol. Kvadrat tenglamani yeching. 

 

1)x

2

+2x-3=0                                2)  x

2

+6x-7=0 

             x

2

+2x=3                                         x

2

+6x=7 

 

   x

2

+2x+1=3+1                                x

2

+2∙3x=7 

 

  (x+1)

2

=4                                         x

2

+2∙3x+3

2

=7+3

2

 

 

  x+1=2   yoki   x+1=-2                    (x+3)

2

=7+9 

            x

1

=1;   x

2

=-3                                  (x+3)

2

=16   Bu tenglamaning yechimlari 

           Javob:   (1;  -3)                                 x+3=4    yoki  x+3=-4 

 

 

                                                x

1

=1;        x

2

=-7   dan iborat.     

                                                                     Javob:   (1;-7) 

Darslikdagi  “m ning qanday qiymatlarida quyidagi ifodalar to’la kvadrat holida bo’ladi?”  ko’rinishidagi mashqlarni 

ko’rib chiqamiz. 

1)    x

2

+4x+m 

        x

2

+2∙2x+2

2

=(x+2)

2

 

 

 

Javob:  4 

2)    x

2

-6x+m  

        x

2 

-2∙3x+3

2

   

 

 

 Javob:  9 

Kvadrat tenglamalarni yechishni bir necha usullarini ko’ramiz. 

1-usul.  Diskriminant usuli: 

 

misol. x

2

+4x-5=0 

 

 

D=4

2

-4∙1∙(-5)=16+20=36 

 

 

7 

 

 

x

1

=-5;     x

2

=1 

2-usul.  Ko’paytuvchilarga ajratish usuli: 

 

misol. 1)  x

2

-3x-270=0 

2)  x

2

-3x-4=0 

          yechish:   x

2

-3x-x+x-4=0;    x

2

-4x+x-4=0 

 

 

      x(x-4)+(x-4)=0 

 

 

      (x-4)(x+1)=0 

 

 

        x-4=0    dan   x

1

=4 

 

 

        x+1=0   dan   x

2

=-1 

3)    4x

2

-49=0   misolda qisqa ko’paytirish formulasidan faydalanib: 

   (2x-7)(2x+7)=0 

   2x-7=0     yoki    2x+7=0 

   2x=7 

 

      2x=-7 

     x

1

=3.5 

        x

2

=-3.5 

3-usul.  To’la kvadrat ajratish usuli: 

 

   misol.  1) x

2

+10x-24=0 

                             x

2

+2∙5x+25-25-24=0 

 

 

        (x+5)

2

=49 

 

 

    a)  x+5=7; 

 

b) x+5=-7 

 

 

 

x=7-5 

 

 

     x=-7-5 

 

 

 

x

1

=2 

 

 

     x

2

=-12 

 

 

 

 

Javob:   x

1

=2;   

x

2

=-12 

2)  Ikkinchi noma’lum son oldidagi  koeffitsiyent toq son bo’lsa 

x

2

+5x+6=0 

(x+2)(x+6)=0                   

0

6

2

5

2

5

2

5

2

2

2

2





































x

x

 

6

2

25

)

2

5

(

2







x

                  

4

1

)

2

5

(

2





x

 

 

 

2

1

2

5





x

 

 

             

2

1

2

5







x

 

 

 

2

5

2

1





x

 

 

              

2

5

2

1







x

 

 

 

x

1

=-2 

 

 

               x

2

=-3 

 

 

 

Javob:  x

1

=-2;    x

2

=-3 

 

 

8 

4-usul.  x

2

+4x-5=0 

 

   

ac

b

D





2

)

2

(

4

 

       

a

D

b

x

4

2

2

,

1







   

 

3

2

9

2

1

4

36

2

4

2

,

1



















x

 

           x

1

=-5; 

 

x

2

=1;                 Javob:        x

1

=-5; 

   x

2

=1;     

5-usul.  Viyet teoremasini qo’llash. 

 

 

x

2

+4x-5=0 

 

 

x

1

+x

2

=-4                x

1

=1; 

 

 

x

1

∙x

2

=-5   

x

2

=-5   Javob:   x

1

=1;   x

2

=-5    

6-usul.  x

2

+4x-5=0   ildizi 5  ni bo’luvchisi    5:  

1



;   

5



 

 

   x

1

=1;    x

2

=-5 

 

 

Javob:   x

1

=1;   x

2

=-5    

7-usul.   x

2

+4x-5=0    

 

    a+b+c=1+4-5=0;  Demak:   x

1

=1;   x

2

=-5    

8-usul.   x

2

+4x-5=0    

 

    x

2

+4x=5 

 

    x(x+4)=5   bitta son ikkinchisidan 4 ta ortiq, demak: 

 

   1(1+4)=5 

 

x

1

=1 

 

   x(x+4)=5∙1    

 

   x(x+4)=-5∙1     x

2

=-5 

9-usul.         x

2

+4x-5=0    

 

 

(x-1)(x+5)=0 

 

 

x-1=0;  x+5=0; 

 

 

 x

1

=1; 

 

x

2

=-5;   

Javob:  x

1

=1; 

x

2

=-5 

10-usul.         x

2

+4x-5=0      

 

 

D=b

2

-4ac; 

 

x

1,2

=

D

b

с





2

;  

 

6

4

10

36

4

)

5

(

2

2

,

1



















x

;   

1

6

4

10

1











x

; 

5

6

4

10

2













x

 

Kvadrat  tenglamalarda  x

2

  oldidagi  koeffitsiyent  1  dan  farqli  bo’lsa  tenglamani  ildizlaridan  biri  albatta  kasr  son 

bo’lishini o’quvchilarga tushuntirish kerak. 

Misollar: 

 

 

9 

1. 12x

2

+7x+1=0                                            2.       2x

2

+x-3=0 

  (4x+1)(3x+1)=0                                                   (2x+3)(x-3)=0 

   4x+1=0; 

 

3x+1=0                                      2x+3=0; 

x-3=0 

   4x=-1   

3x=-1                                         2x=-3   

x=3 

   

4

1

1





x

 

 

3

1

2





x

 

 

                      

2

3





x

 

 

 

Javob: 

4

1

1





x

;    

3

1

2





x

                                           Javob:

2

3

1





x

;   x

2

=3 

 

Endi kvadrat tenglamaning ildizlarini keltirib chiqaramiz. 

ax

2

+bx+c=0;   a≠0  tenglama, berilgan  har ikki qismini a ga bo’lamiz. 

a

c

x

a

b

x





2

=0; 

 

 

 

a

c

x

a

b

x







2

; 

 

2

2

2

)

2

(

)

2

(

2

2

a

b

a

c

a

b

x

a

b

x











;   

2

2

2

4

4

)

2

(

a

ac

b

a

b

x







 

Agar   b

2

-4ac≥0  bo’lsa, 

 

2

2

2

)

2

4

(

)

2

(

a

ac

b

a

b

x







 

a

ac

b

a

b

x

2

4

2

2









 

 

a

ac

b

a

b

x

2

4

2

2

2

,

1









   bundan: 

a

ac

b

b

x

2

4

2

2

,

1









  – Bu formula kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi deyiladi. 

Bu formuladan  b

2

-4ac  ifoda kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi. 

a)  agar b

2

-4ac>0  bo’lsa kvadrat tenglama 2 ta ildizga ega bo’ladi. 

b)   agar b

2

-4ac=0  bo’lsa tenglama bitta ildizga ega bo’ladi. 

c)  agar b

2

-4ac<0 bo’lsa  ax

2

+bx+c=0  tenglama haqiqiy ildizga ega bo’lmaydi. 

Ko’p hollarda   ax

2

+2mx+c=0    ko’rinishidagi tenglamalar ildizi 

 

Formula  bilan  hisoblanadi,    (bunda  b=2m)    ya’ni  ikkinchi  had  koeffitsiyenti  juft  son  bo’lsa,  yarmini  olib  ishlash 

qulaydir. 

Misollar:    1)  x

2

-12x+20=0 

 

 

=6

 

 

 

x

1

=10;  x

2

=2 

 

 

2) x

2

-50x+49=0 

 

 

=25

 

 

 

10 

 

 

x

1

=49;  x

2

=1 

 

Viyet teoremasi: 

x

2

+px+q=0  ko’rinishidagi tenglamalar keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi. 

Agar x

1

  va  x

2

   lar x

2

+px+q=0  tenglamaning ildizlari  bo’lsa,  u holda: 

 

 

x

1

+x

2

=-p 

 

 

x

1

∙x

2

=q     o’rinli 

ya’ni  keltirilgan    kvadrat  tenglamada  ildizlarining  yig’indisi  qarama-qarshi  ishora  bilan  olingan  ikkinchi  had 

koeffitsiyentiga,  ko’paytmasi esa ozod hadga teng. 

 

O’quvchilarga     ax

4

+bx

2

+c=0     ko’rinishidagi tenglamaning Bikvadrat tenglama ekanligi haqida tushuncha 

beriladi  va   x

2

=t  belgilash yordamida yechish kerakligi ko’rsatiladi. 

Misollar: 

1)    x

4

-7x

2

+12=0,        x

2

=t   

      t

2

-7t+12=0 

      

 

 

 

 

 

Javob:        

. 

2)    9x

4

+5x

2

-4=0,        x

2

=t   

      9t

2

+5t-4=0 

      

 

 

 

 

                t

2

=-1;     x

2

=-1    –    yechim yo’q.        Javob:

 

3)  2x

4

+5x

2

-7=0,        x

2

=t   

      2t

2

+5t-7=0 

      

 

 

 

 

 

11 

 

4) 4x

4

+7x

2

-11=0,        x

2

=t   

      4t

2

+7t-11=0 

      

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Javob:

 

Xulosa 

 

Kvadrat tenglamalarni va Bikvadrat tenglamalarni yechish va uning yordamida masalalar yechish VIII sinf 

algebra kursida puxta o’rganilsa, albatta keying matematika bo’lim va boblarini o’rganishga muhim kalit bo’ladi. 

 

 

 

 

Foydalanilgan adabiyotlar. 

 

1.  Umumiy o’rta ta’limning Davlat ta’lim standartlari va o’quv dasturi.     “Sharq”     1999  yil. 

2.  “Algebra”  8-sinf darsligi. 

3.  M. Ahadova  “O’rta Osiyolik mashxur olimlar va ularning matematikaga doir ishlari”   kitobi.  “O’qituvchi  

”  nashriyoti.  1983  yil. 

4.  “Ma’rifat”  gazetasining  2010  yil  27 yanvar  soni.