Tayanch so‘zlar

Teorema(Neyman – Pirson). Yuqorida keltirilgan shartlar bajarilganda har doim tekis eng quvvatli alomat mavjud va u quyidagi kritik to‘plam bilan aniqlanadi

. (2)

Bu yerda c- kritik nuqta Ψ(c) = α tenglamadan topiladi.

T. e. q. alomat taqsimoti funksiyasi absolyut uzluksiz bo‘lgan hol uchun keltirildi. Ammo bunday alomat diskret taqsimotlar uchun ham mavjud bo‘ladi.

1 – misol. X₁,X₂, ..., X_n lar noma’lum θ o‘rta qiymatli va ma’lum σ² dispersiyali normal taqsimlangan t.m.ning bog‘liqsiz tajribalar natijasida olingan kuzatilmalari bo‘lsin. Asosiy gipotezaga ko‘ra H₀ : θ = θ₀, raqobatlashuvchi gipoteza H₁ ga ko‘ra θ = θ₁ va θ₁ > θ₀ bo‘lsin. Demak,

,

Endi haqiqatga o‘xshashlik statistik nisbati l(x) ni topaylik

U holda tengsizlik quyidagi

tengsizlikka ekvivalent. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin.

- tanlanma o‘rta qiymat θ₀ va - parametrlik normal qonun bo‘yicha taqsimlangani uchun

Bu yerda - Laplas funksiyasi. Tanlangan ixtiyoriy ehtimollik uchun, , tengliklar bajariladigan c_α soni har doim mavjud. Demak, Neyman – Pirson teoremasining barcha shartlari qanoatlantiriladi. Shu teoremaga asosan t. e. q. alomat mavjud va uning kritik to‘plami quyidagicha aniqlanadi.

,

Mana shu alomatning quvvatini hisoblaylik. Alternativ H₁ gipotezaga ko‘ra - tanlanmaning o‘rta qiymati θ₁ va - parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangandir. U holda

(3)

(3) munosabatdan ikkinchi tur xatolik

ekanligi kelib chiqadi.

Endi quyidagi masalani ko‘raylik. Alomatning qiymatdorlik darajasi α ga teng bo‘lganida, ikkinchi tur xatolik β ga teng bo‘lishi uchun nechta kuzatilma kerak?; ya’ni tanlanmaning hajmi qanday bo‘lishi kerak? Kerakli n soni topish uchun ikkita tenglamaga egamiz. Bular

va (4)

Φ(y)=p tenglamaning yechimini ko‘raylik. Bu tenglamaning yechimi y_p normal qonunning p – chi kvantili deyiladi. U holda (4) ga asosan . Oxirgi ikki tenglikdan munosabatga ega bo‘lamiz. Qidirayotgan son butun bo‘lishi lozim. Shuning uchun, . Bu erda [a] – a sonning butun qismi. Masalan, α=β=0.05 va bo‘lsa, u holda n^*=1076 bo‘ladi; agarda α=β=0.001, bo‘lsa, n^*=39 bo‘ladi.

Faraz qilaylik, X₁,X₂, ..., X_n lar bog‘liqsiz n ta tajriba natijasida X t.m.ning olingan kutilmalari bo‘lsin. X t.m.ning taqsimoti noma’lum F(x) funksiyadan iborat bo‘lsin. Noparametrik asosiy gipotezaga ko‘ra H₀:F(x)=F₀(x). Mana shu statistik gipotezani tekshirish talab etilsin.