Тавтологии алгебры логики

2.

3.

4.

Тавтологии удаления и вставки кванторов в операции импликации

Теорема 4. (законы удаления квантора общности и введения

квантора существования). Следующие формулы логики

предикатов являются тавтологиями:

а) (х)(Р(х))  Р(у);

б) Р(у)  (х)(Р(х)).

Законы коммутативности для кванторов

Теорема 5. (Законы коммутативности для кванторов).

Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями:

1. (x)(y)(P(x, у)) ↔ (y)(x)(P(x, у)).

2. (x)(y)(P(x, у)) ↔ ( y)(x)(P(x, у)).

Обобщение тавтологий логики предикатов

Замечание. В порядке расширения взгляда на

тавтологии, выраженного в теоремах 1 — 5, можно

считать, что буквы Р и Q представляют собой

произвольные формулы логики предикатов, а не

просто n  местные предикатные переменные,

представляющие собой на основании определения

формул элементарные или атомарные формулы.

Получаемые формулы также будут тавтологиями

логики предикатов.

Логическая символизация математических предложений.

Чтобы записать предложение на языке логики предикатов, нужно выполнить действия:

1. Определить множество M, об элементах которого идет

речь в предложении.

2. Ввести предикаты соответствующей местности на M,

выражающие свойства элементов из M.

3. С помощью логических операций и кванторов записать

предложение на языке логики предикатов.

Пример записи предложения на языке логики предикатов

Записать символически предложение: существуют, по крайней

мере, 4 точки, не принадлежащие одной плоскости.

Решение. Рассмотрим 2 множества: точек и плоскостей

пространства. Определим предикаты: T(x)  x  точка,

P(x)  x  плоскость, R(x,y)  x = y, L(x,y)  x  y. Символическая запись предложения: