Tatsionar holatlar. Operatorlarning opertorlarning vaqt bo’yicha differensillash. Kvant mexanikasi asoslaridagi harakat integrallari

2. Shryodinger tenglamasi va uning echimining asosiy xossalari.

Energetik sathlarni kvantlanishi
Keyingi boblardan birida biz Shryodinger tenglamasini bir nechta fizikaviy masalaga qo’llab, hosil bo’lgan echimlari bilan sizni mufassal tanishtiramiz. Hozir esa U(r) – potenstial maydonning ko’rinishi konkretlashtirmasdan, Shryodinger differenstial tenglamasini xususiy echimlarining umumiy xossalarihaqida to’xtalamiz.

Uzluksiz fazoviy o’zgaruvchi-larning uzluksiz funkstiyalari qatnashgan differenstial teng-lamadan qanday qilib kvant effektlari, masalan, atomdan energiyaning diskret sathlari hosil bo’ladi degan savolga javob berishga h

arakat qilamiz. Atomning potenstial “qudug`i”ga tushib qolgan elektron energiyasi, fazoning ma’lum sohasida qolishga majbur bo’lib, u faqat aniq diskret qiymatlar qabul qilishi kerak degan faktni biz yaxshi tushunib olishimiz kerak.

Soddalik uchun elektron bir o’lchamli fazoda x o’qi bo’yicha harakat qilsin va uning potenstial energiyasi – U(x) 13.4-rasmda tasvirlangani kabi o’zgarsin. Bu potenstial statik, ya’ni vaqt o’tishi bilan o’zgarmasin. 13.4a-rasmdagi ko’rinishga ega bo’lgan potenstial egrilik kvant mexanikaning juda ko’p turli masalalarida ishlatiladi. Masalan, ikki atomli molekulada atomlar orasidagi o’zaro potenstial energiyasi xuddi shunday ko’rinishga ega. bu holda atomlar markazlari orasidagi masofa x ga teng va u U(x) funkstiyaning minimumi esa molekulada atomlarning muvozanat holatini aks ettiradi.

Bu hol uchun (13.43) Shryodingerning stastionar tenglamasi o’rinli bo’lib, uni quyidagi ko’rinishda yozamiz:

(13.45)

va uning echimini (13.39) ko’rinishda izlaymiz. Bilamizki, bu funkstiya aniq chastotaga, ya’ni aniq energiyaga javob beruvchi holatlarni ifodalaydi.

(13.45) tenglamadan ko’rinadiki (x) funkstiyadan x bo’yicha olingan ikkinchi tartibli hosila doimo shu (x) funkstiyaning o’ziga proporstional va bunda ko’paytma proporstionallik koeffistientini bajaradi. Matematik tahlildan yaxshi bilamizki (x) dan olingan ikkinchi tartibli hosila shu (x) funkstiya og`ishishini tezligini xarakterlaydi. Agar U-potenstial zarra energiyasi E dan (U>E) katta bo’lsa, u holda (x) funkstiyaning og`ishish (krivizna) tezligining ishorasi, (x) funkstiyaning ishorasi bilan bir xil bo’ladi. Bu degani (x) funkstiya o’zining do’ngligi bilan x o’qiga burilgan va eksponentaning musbat yoki manfiy yo’lini xarakterlaydi. 13.4a-rasmdagi chizmada x o’qining x₁ nuqtadan chap tomonidagi sohada U>E bo’lgani uchun (x) funkstiyaning bu sohadagi ko’rinishi 13.5a-rasmdagi egrilikdan birortasiga o’xshagan bo’lishi mumkin. Mabodo, U<E bo’lsa, u holda ning ishorasi aksincha (x) ishorasiga teskari bo’ladi. Bu holda (x) egrilik o’zining botiqligi bilan doimo x o’qi tomon qaragan bo’ladi. 13.5b-rasmda shunday egriliklar keltirilgan.

Zarra to’la energiyasining qiymati U dan kichik bo’lgan holda u potenstial o’ra tomonidan “ushlanib” qoladi va sohada o’rnashib (lokallashib) qoladi. Bu hol uchun yuqorida aytganimizdek ning ishorasi bilan (x) funkstiyaning ishoralari orqali aniqlanadi. Ox o’qni uchta intervalga bo’laylik: , , . Birinchi va uchinchi intervallar uchun , ikkinchi interval uchun . Demak, va (x) ni birinchi va uchinchi sohalarda  funkstiyani grafigi x o’qiga o’ng tomoni bilan qaragan (>0 va <0 hollar uchun) va ikkinchi sohada botiq tomoni qaragan. 13.5-rasmda to’lqin tenglamaning echimi bo’lgan (x) funkstiyaning mumkin bo’lgan ko’rinishlaridan biri tasvirlangan.

ni (x) bilan bog`lovchi (13.45) tenglama har qanday differenstial tenglama kabi umumiy echimga ega. x=x₀ nuqtada  va uning birinsi hosilasi ni xususiy qiymatini berilishi x ning barcha qiymatlari uchun (x) ni xususiy echimini beradi.

x₀ nuqtani, masalan, ikkinchi sohada tanlaylik va uning uchun (x₀) va ni qiymatlari ham berilgan bo’lsin (13.6-rasm). dastlabki qiymat (x₀)>0 ni tanlaganimiz uchun, ikkinchi sohada uning botiqligi x ga qaragan (13.4b-rasm). egrilik misolida x o’qining ortishi yo’nalishida (x) ning yo’lini tahlil qilamiz (13.6-rasm). III sohaga etguncha egrilikning botiqligi x o’qiga tomon qaragan holda bo’ladi. Sohaning chegarasi nuqtada kattalik ishorasini o’zgartiradi,  funkstiyaning qiymati musbatligicha qoladi, esa nolga teng bo’ladi. Berilgan boshlang`ich shartda bo’lgani uchun hosila nuqtada eng kichik manfiy qiymatga ega bo’ladi, so’ngra u III sohada o’sa boshlaydi. Shunday qilib nuqtada egrilik qayrilishi ro’y beradi; III sohada egrilik manfiy og`ishishi avval nol, so’ngra musbat bo’ladi. Og`ishning o’zgarish tezligi, ya’ni ga va ox o’qidan egrilikkacha bo’lgan masofa (x) ga proporstional. Provardida III cohada 1-egrilik cheksiz o’sa boshlaydi.

D astlabki shartlarni boshqacha berilishida (x) hatti harakatini ikkinchi egrilik xarakterlasin. Masalan, uning uchun (x₀) ni o’zgartirmay ning qiymatini sal kamroq olamiz. Bu holda 2-egrilik III sohada da  funkstiya esa ga intiladi. Agar nuqtada to’g`ri tanlangan bo’lsa, u holda 3-egrilikni olishimiz mumkin. Bu hol uchun egrilik botiqligi

yuqoriga qaragan va ox o’qidan yuqorida joylashgan, x ni ortishi bilan (x) assimptotik nolga intiladi. Bu hol bizni qanoatlantiradigan echimdir. Endi shu 3- egrilikni x ni kamayishi tomon ko’rinishini tahlil qilaylik. Bunda ham da  funkstiya esa musbat yoki manfiy qiymatga ega bo’lgan cheksizlikka ega bo’lishi lozim. Shu hollardan biri 13.6-rasmda (x) uchun shtrixlar bilan ko’rsatilgan. Shunday qilib U(x) ni berilgan grafigi uchun va E ni erkli tanlaganimizda Shryodinger tenglamasi normal echimga ega emas. Biroq E ni turlicha tanlash yo’li bilan tasodifan shunday E₁ ni topish mumkinki, (x)-funkstiya x ning har qanday qiymatida to’g`ri yo’l tutishi mumkin. «Hulq»i to’g`ri bo’lgan (x) lardan biri 13.7-rasmda tasvirlangan. Bundan potenstial o’rada bog`lanib qolgan zarra uchun yagona energiya mavjud ekan degan xulosaga kelamizmi? Yo’q. Boshqalari ham, E<sub>1</sub>,E<sub>2</sub>,E<sub>3</sub>, kabilari ham bo’lishi mumkin. Bu xususiy qiymatlari uchun ham <sub>1</sub>,<sub>2</sub>,<sub>3</sub>, xususiy to’lqin funkstiyalarning «hulqi» ham yaxshi bo’lishi mumkin. Shunday qilib, quyidagi xulosaga kelamiz. Agar zarra potenstial o’raga kirib qolgan bo’lsa, u holda uning energiyasi aniq bir qiymatlar olib diskret energetik spektr hosil qiladi. Ko’rib turibsizki, kvant fizikaning eng muhim faktini Shryodingerning differenstial tenglamasi tavsiflayapti. Sizga bir narsani eslatib o’taiz. Agar E>U bo’lsa, u holda diskret echimlar hosil bo’lmaydi va bu holda energiya istalgan qiymatga ega bo’ladi va natijada uzluksiz spektr hosil bo’ladi. Masalan, shunday hol erkin elektronlar potenstial o’radan sochilganda yuz beradi. 13.8-rasmda 5 ta bog`langan energetik holat uchun (x) funkstiyaning shakllari va 13.9-rasmda esa erkli formadagi potenstial energiya uchun Shryodinger bir o’lchamli tenglamasidan energiyaning kvantlanish masalasi va shuningdek, uzluksiz spektr tasvirlangan.