Tasodifiy jarayonlarning spektral zichligi

Tasodifiy jarayonlarning spektral zichligi

Avtomatik nazorat qilish tizimlarini o'rganishda spektral zichlik deb ataladigan statsionar tasodifiy jarayonning yana bir xarakteristikasidan foydalanish qulay. Ko'pgina hollarda, ayniqsa, lineer nazorat qilish tizimlari tomonidan statsionar tasodifiy jarayonlarning o'zgarishini o'rganishda spektral zichlik korrelyatsiya funktsiyasidan ko'ra qulayroq xususiyatga ega.

Tasodifiy jarayonning S_x(ω)) spektral zichligi X(t) Fourier korrelyatsiya funktsiyasi sifatida aniqlanadi. R_x(τ), т. е.
(8)
Agar formuladan foydalansangiz Eyler keyin (8) sifatida taqdim etilishi mumkin

Chunki - g'alati funktsiya, keyin oxirgi ifodada ikkinchi integral nolga teng. Buni hisobga olgan holda - hatto funktsiya τ, olish
(9)
Chunki bu (9) quyidagicha
(10)
Shunday qilib, Sx(w) spektral zichligi ω chastotasining haqiqiy va hatto funktsiyasidir. Shuning uchun, grafikda spektral zichlik har doim ordinat o'qiga nisbatan nosimmetrik bo'ladi.
Agar spektral zichlik ma'lum bo'lsa, Fure teskari konvertatsiya qilish formulasiga muvofiq unga mos keladigan korrelyatsiya funktsiyasini topishingiz mumkin:
(11)
Foydalanish (11) va

dx dispersiyasi va tasodifiy jarayonning Sx(ō) spektral zichligi o'rtasida muhim bog'liqlik mavjud:
dx dispersiyasi va tasodifiy jarayonning Sx(w) spektral zichligi o'rtasida muhim bog'liqlik mavjud:
(12)
O'zaro spektral zichlik ikki statsionar tasodifiy jarayon X(t) va G(t) Fure o'zaro korrelyatsiya funktsiyasidan konvertatsiya qilish deb ta'riflanadi yoki.
(13)
O'zaro spektral zichlikda (13) teskari Fure konvertatsiyasini qo'llash orqali o'zaro korrelyatsiya funktsiyasi uchun ifodani topish mumkin:
(14)
O'zaro spektral zichlik bu ikki statsionar tasodifiy jarayon o'rtasidagi statistik aloqaning o'lchovidir: X(t) va G(t). Agar jarayonlar X(t) va G(t). tartibga solinmagan va nolga teng bo'lgan o'rtacha qiymatlar bo'lsa, o'zaro spektral zichlik nolga teng, ya'ni.
(15)
Spektral zichlikdan farqli o'laroq S_x(ω) o'zaro spektral zichlik hatto bir funktsiya emas ω va u haqiqiy emas, balki murakkab vazifadir.
Spektral zichliklarning ayrim xususiyatlarini ko'rib chiqing

1. 
   Sof tasodifiy jarayonning spektral zichligi, yoki oq shovqin, chastota diapazonida doimiy:
   

(16)
Darhaqiqat, (8) ifodasini almashtirish

shovqinning korrelyatsiya funktsiyasi uchun biz quyidagilarni olamiz
(17)
Oxirgi ifodada olingan barcha cheksiz chastota diapazonidagi oq shovqinning spektral zichligi barqarorligi oq shovqinning energiyasi butun spektrda teng ravishda taqsimlanishini anglatadi va jarayonning umumiy energiyasi abadiylikka teng. Bu tasodifiy oq shovqin jarayonining jismoniy amalga oshirilmasligini ko'rsatadi. Oq shovqin-haqiqiy jarayonning matematik idealizatsiyasi. Aslida, Sx(w) chastota spektri juda yuqori chastotalarda cho'kadi. Biroq, agar bu chastotalar juda katta bo'lsa ,ular ma'lum bir qurilmani ko'rib chiqayotganda ular rol o'ynamaydi( chunki ular ushbu qurilma tomonidan o'tkaziladigan chastota diapazonidan tashqarida yotadi), oq shovqin shaklidagi signalni idealizatsiya qilish ko'rib chiqishni osonlashtiradi va shuning uchun juda mos keladi.