«tasdiqlayman» Urganch tumani tarmoqli texnikumi direktori Z. Saidniyozova

- rasm. Ӗpiq sirtning fazoviy burchagiga to’g’ri keluvchi elektr induktsiya vektori

Elektr induktsiya vektorining ifodasiga ko’ra:

⃗_𝑫⃗⃗ ₌ ^𝟏
𝒒 ⃗𝒓⃗

𝟒𝝅 𝒓^𝟑
bu yerda – ^⃗𝑫^⃗⃗vektor zaryad joylashgan nuqtadan chiqqan bo’lib, ⃗𝒓⃗– radius -⃗𝒏⃗ vektor bo’ylab yo’naladi. Shuning uchun normal bilan vektor orasidagi fazoviy burchak dS va dS sirtlari
orasidagi burchakka tengdir. U vaqtda elementar dS sirtdan chiqayotgan elektr induktsiya oqimi quyidagiga teng bo’ladi:
𝒅𝑵 = ^{𝟏 𝒒} 𝒅𝑺

𝟒𝝅 𝒓^𝟐

Yuza o’zgarishining radiusga nisbati fazoviy burchakka teng bo’lgani uchun

ega bo’lamiz.
𝒅𝑵 = ^𝟏
𝟒𝝅
𝒒𝒅𝝎

Agar butun shar sirti bo’yicha integrallasak




Ostrogradskiy – Gauss teoremasining
matematik ifodasiga ega bo’lamiz. Yopiq sirtdan chiqayotgan elektr induktsiya oqimi shu sirt ichidagi zaryad miqdoriga teng.
^q1,^q2, ^,qn
zaryadlar bo’lsa, elektr induktsiya vektori quyidagiga teng bo’ladi: Yopiq sirt ichida

Elektr induktsiya oqimi esa,

25. 
    – rasm. ρ hajmiy zaryad zichligi bilan zaryadlangan elementar hajm
    

Haqiqatda, kuch chiziqlarining oqimi sirt radiusiga bog’liq emas, ikkita sirt orasidagi fazoda, zaryadlar yo’q bo’shliqda uzluksizdir, Shu sababli, zaryadni o’rab olgan ixtiyoriy sirtdan o’tadigan elektr induktsiya oqimi (21.3) ifoda bilan aniqlanadi va u Ostrogradskiy – Gauss teoremasining integral ko’rinishi deb hisoblanadi. Quyida bu teoremaning differentsial ko’rinishini keltirib chiqaramiz.
26 – rasmda ρ hajmiy zaryad zichligi bilan zaryadlangan dV elementar hajm keltirilgan. dV hajm elementi zaryadi dq = ρdV ga teng. Boshqa tarafdan, ρ fazoviy koordinatalarning uzluksiz funktsiyasi hisoblanadi.
Elementar dV hajmning 1 – tomonidan chiqqan tashqi normal x o’qining manfiy yo’nalishiga mos keladi. Shu sababli, shu sirt bo’yicha vektor oqimi – Ex(x)dydz ga teng bo’ladi.
Parallelipipedning 2 – sirtidan
chiqqan tashqi normal x o’qining musbat yo’nalishiga mos keladi va shu sirt bo’yicha oqim +
Ex(x + dx)dydz ga teng bo’ladi. Ikkala oqim yig’indisi

ga teng bo’ladi.

Parallelipipedning butun sirti bo’yicha to’la oqim



ga teng bo’ladi, bu yerda,

Ostrogradskiy – Gauss teoremasiga asosan,

shu oqim

ga tengdir. (21.5) va (21.6) ifodalarni taqqoslasak quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu ifoda Ostrogradskiy – Gauss teoremasining differentsial ko’rinishidir. Elektr maydonining divergentsiyasi elektr oqimining fazoviy koordinatalar yo’nalishlari bo’yicha gradientlar yig’indisiga yoki zaryadlangan hajmning hajmiy zaryad zichligiga teng bo’ladi.