"tasdiqlayman" Matematika kafedrasi mudiri

2.3 Ikki o`lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorning differensial funksiyasi (ehtimolning ikki o’lchovli zichligi)
Biz ikki o’lchovli tasodifiy miqdorni integral funksiya yordamida bayon qildik. Ikki o`lchovli uzluksiz miqdorni, shuningdek, taqsimotning differensial funksiyasi yordamida ham bayon qilish mumkin. Bu erda va bundan keyin integral funksiya hamma joyda uzluksiz va xamma joyda (chekli sondagi egri chiziqlardagina bu istisno bo`lishi mumkin) uzluksiz ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilaga ega deb faraz qilamiz.
Ikki оlchovli uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimotining differensial funksiyasi deb integral funksiyadan olingan ikkinchi tartibli aralash xususiy xosilaga aytiladi:

Geometrik nuqtai nazardan bu funksiyani sirt sifatida talqin qilish mumkin. U taqsimot sirti deb ataladi.
Misol. tasodifiy miqdorlar sistemasining maʼlum

integral funksiyasi boʻyicha uning differensial funksiyasini toping,
Yechilishi. Tasodifiy miqdorlar sistemasining differensial funksiyasi taʼrifiga koʻra

Integral funksiyadan x boʻyicha olingan xususiy hosilani topamiz:

Hosil qilingan natijadan y boʻyicha olingan xususiy hosilani topamiz, natijada izlanayotgan differensial funksiyani topamiz:

Ikki o’lchovli tasodifiy miqdor differensial funksiyasining ehtimoliy ma`nosi
tasodifiy nuqtaning ABCD to’g’ri to’rtburchakka tushish ehtimoli




ga teng.
Tenglikning chap tomonini qisqalik uchun orqali belgilab va o’ng tomoniga Lagranj teoremasiga qo’llanib quyidagini hosil qilamiz:
.
Bu yerda

Bundan (2.10)
yoki (2.11)
ko’paytma ABCD to’g’ri to’rtburchak yuziga tengligini e’tiborga olib, ushbu xulosaga kelamiz: funksiya tasodifiy nuqtaning ABCD to’g’ri to’rtburchakka tushish ehtimolining bu to’g’ri to’rtburchakyuziga nisbatidir.
Endi (2.11) tenglikda va dalimitgao’tamiz. Uholda , vademak, .
Shundayqilib, funksiyasini tasodifiy nuqtaning to’g’ri to’rtburchakka tushish ehtimolini bu to’g’ri to’rtburchak yuziga nisbatining to’g’ri to’rtburchakning ikkala tomoni nolga intilgandagi limiti deb qarash mumkin.