Tasdiqlayman” Kafedra mudiri: N. N. Raximov “ ” 2021 y

1 - ilova
1 – ilova.Oddiy tengsizliklarni eslash.

1.Tengsizlik haqida nimani bilasiz

2. Qanday turlarini bilasiz?

Tengsizlik turlari:

1.O’zgaruvchili tengsizliklarni yechish.
2.Bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklar.
3.Ikkinchi darajali tengsizliklar


Bayoni


f(x)>g(x) tengsizlik berilgan bo’lsin. O’zgaruvchining bu o’zgaruvchili tengsizlikni to’g’ri sonli tengsizlikka aylantiradigan har qiymati tengsizlikning yechimi deyiladi. O’zgaruvchili tengsizlikni yechish- uning barcha yechimlarini topish yoki ularning yo’qligini isbotlashdir.
Agar ikkita tengsizlikning yechimlari bir xil bo’lsa, bunday tengsizliklar teng kuchli deyiladi; xususan, yechimga ega bo’lmagan tengsizliklar ham teng kuchli hisoblanadi.
Tengsizliklarni yechishda odatda tengsizlikka teng kuchli tengsizlik bilan almashtiriladi; hosil bo’lgan tengsizlikni yana soddaroq, berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik bilan almashtiriladi va xakazo. Bunday almashtirishlar quyidagi da’volarga asoslangandir.
Agar tengsizlikning bir qismidan ikkinchi qismiga qo’shiluvchi qarama-qarshi ishora bilan o’tkazilsa, berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
Agar bir o’zgaruvchili tengsizlikning ikkala qismi bir xil manfiy songa ko’paytirilsa yoki bo’linsa va bunda tengsizlik belgisi qarama-qarshisiga o’zgartirilsa, berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
Masalan, x² +5x<6 va x² +5x-6<0 tengsizliklar teng kuchli
Agar tengsizlikning ikkala qismi o’zgaruvchining musbat qiymatlar qabul qiluvchi bir xil ifodaga ko’paytirilsa yoki bo’linsa, berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
Agar tengsizlikning ikkala qiami o’zgaruvchining barcha qiymatlarida manfiy qiymatlar qabul qiluvchi bir xil ifodaga ko’paytirilsa yoki bo’linsa va bunda tengsizlik belgisi qarama-qarshisiga o’zgartirilsa, berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
Chiziqli tengsizlik deb ax>b (yoki mos holda ax ko’rinishdagi tengsizlikka aytiladi. Agar a>0 bo’lsa, ax>b tengsizlik x> tengsizlikka teng kuchli bo’ladi, demak, tengsizlikning yechimlar to’plami oraliqdan iborat. Agar a<0 bo’lsa, ax>b tengsizlik x< tengsizlikka teng kuchi, demak, tengsizlikning yechimlar to’plami oraliqdan iborat. Agar a=0 bo’lsa tengsizlik ko’rinishda bo’ladi, ya’ni u b 0 bo’lganda yechimlarga ega bo’lmaydi, b<0 bo’lganda har qanday x larda to’g’ri bo’ladi.
Ko’p tengsizliklar shakl almashtirishlar jaroyonida chizli tengsizliklarga keltiriladi.
Misol. 2(x-3)+5(1-x) 3(2x-5) tengsizlikni yeching.
Yechish. Qavslarni ochamiz: 2x-6+5-5x 6x-15,
-3x-1 6x-15.
So’ngra quyidagiga egamiz: -3x-6x -15+1, (1)
-9x -14.
Endi tengsizlikning ikkala qismini -9 ga bo’lamiz va (1) tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi va x . Demak, berilgan tengsizlikning yechimlar to’plami oraliqdan iborat.
Quyidagi tipdagi tengsizliklarni qaraymiz:
I. (yoki ) (n=1,2,3,…) (1)
II. (2)

III. (3).

Bu (1), (2) tengsizliklardagi f(x), , f_i(x) (i=1,2,3…,m,n) funksiyalar x ga nisbatan ko’phadlar bo’lib, (3) da f(x), g(x) funksiyalar ko’phaddan boshqa funksiyalar ham bo’lishi mumkin.
Yo’qaridagi tengsizliklarni yechish usullari to’g’risida to’xtalamiz.

1. 
   a) tipidagi tengsizlik quyidagicha yechiladi: 1) Ildizning aniqlanish sohasini topamiz: f(x) 0. Bu shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar to’plamini M orqali belgilaymiz;
   

1. 
   M ni 2 ta M₁ va M₂ to’plamlarga ajratamiz, ya’ni M₁ sifatida M ning manfiy bo’lmaydigan qismini M₁= , M₂ sifatida manfiy bo’ladigan qismini M₂= olamiz.
   
2. 
   M₁ to’plamda f(x)>( )²ⁿ tengsizlikni yechamiz va yechimlar to’plamini D₁ orqali belgilaymiz;
   
3. 
   M₂ to’plamda a) tengsizlikning yechimlar to’plami shu M₂ to’plamning o’zidan iborat bo’ladi, uni D₂ orqali belgilaymiz;
   
4. 
   D₁ va D₂ larni birlashtirib, (D= D₁ D₂) berilgan tengsizlikning yechimini topamiz.
   

1-misol. tengsizlikni yeching.
Yechish. yuqaridagi tartib bilan yechamiz: (bunda f(x)=6-5x-x², g(x)=x+2)

1. 
   M ni topamiz: 6-5x-x² .
   
2. 
   M₁ va M₂ ni topamiz:
   

Endi M to’plamdan ni qanoatlantiradigan qism: M₁= ni ajratib olamiz.
Huddi shuningdek, M₂= bo’ladi.

3. 
   M₁ to’plamda 6-5x-x² tengsizlikni yechamiz:
   

M₁ dagi yechim bo’ladi.
Demak, D₁= .

4. 
   M₂= da yechim D₂= M₂= .
   

Bu yechimlarni birlashtiramiz: D= D₁ D₂= = Javob:

1. 
   b) tipidagi tengsizlikni ham yuqoridagi kabi yechamiz:
   

1. 
   Ildizning aniqlanish sohasini topamiz;
   
2. 
   M ni 2 ta M₁ va M₂ to’plamlarga ajratamiz, bunda M₁ uchun M ning bo’ldigan qiymatlari olinadi va M₂ uchun bo’ladigan qismi olinadi;
   
3. 
   M₁ to’plamda tengsizlik yechiladi. Bu yechimlar to’plamini D₁ deb belgilaymiz;
   
4. 
   M₂ to’plamda berilgan b) tengsizlikning yechimi yo’q bo’ladi.(D₂= )
   
5. 
   Berilgan tengsizlik yechimi D= D₁ D₂=D₁ bo’ladi.
   

Ikkinchi darajali tengsizliklar. Bu yerda ax²+bx+c>0 yoki ax²+bx+c<0, a 0 tengsizlikar to’g’risida so’z yuritamiz. Ularni yechish uchun ax²+bx+c kvadrat uchhadni ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) formulalar bo’yicha ko’paytuvchilarga ajratish, so’ngra a(x-x₁)(x-x₂)>0 (yoki (x-x₁)(x-x₂)<0) tengsizlikning ikkala qismini a ga bo’lish kerak, bunda a>0 bo’lsa tengsizlik belgisi o’zgarishsiz qoldiriladi, a<0 bo’lsa, uni qarama-qarshisiga o’zgartiriladi. Yani (x-x₁)(x-x₂)>0 ( yoki (x-x₁)(x-x₂)<0) tengsizlikka o’tishi mumkin. Endi ikkita sonning ko’paytmasi musbat ( manfiy) bo’lishi kerakligidan foydalanish qoldi.
1-misol. 2x²+5x+2>0 tengsizlikni yeching. Yechish. 2x²+5x+2 uchhadni ildizlarini topamiz. 2x²+5x+2=0 tenglamadan . Demak, 2x²+5x+2=2( , so’ngra ( tengsizlikka kelamiz. x+2 va ifodalar bir xil ishoralarga ega bo’lishi kerak, ya’ni quyidagi ikkita sistemaga ega bo’lamiz:

Birinchi sistemadan x> ni , ikkinchi sistemadan x<-2 ni topamiz.
2-misol. x²-6x+9>0 tengsizlikni yeching. Yechish. x²-6x+9 kvadrat uchhad ikkita bir xil ildizga ega , ya’ni x₁=x₂=3 . Demak, x²-6x+9=(x-3)² va tengsizlik (x-3)²>0 ko’rinishga keladi. Bu tengsizlik x=3 dan tashqari barcha x larga bajariladi.
3-misol. x² 25 tengsizlikni yeching.Yechish. Ketma-ket quyidagilarga egamiz: