Ta’rif. Agar to‘plam funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa

O‘lchovli to‘plamlar.
Ta’rif. Agar to‘plam funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:

1. 
   funksiyaning aniqlanish sohasi yarim halqa bo‘lsa;
   
2. 
   funksiyaning qiymatlar sohasi haqiqiy va nomanfiy bo‘lsa;
   
3. 
   additive bo‘lsa, ya’ni to‘plamning o‘zaro kesishmaydigan to‘plamlar bo‘yicha chekli yoyilmasi uchun
   

tenglik o‘rinli bo‘lsa, ga o‘lchov deyiladi.
Agar o‘lchovning aniqlanish sohasi ikkinchi o‘lchovning aniqlanish sohasi da saqlansa, va to‘plam uchun tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda o‘lchov o‘lchovning davomi deyiladi.
Ta’rif. to‘plam uchun

son topplamning tashqi o‘lchovi deyiladi. Bu yerda aniq quyi chegara to‘plamni qoplovchi to‘g‘ri to‘rtburchaklarning barcha chekli yoki sanoqli sistemalari bo‘yicha olinadi.
Ta'rif. Bizga to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar uchun elementar to‘plam mavjud bo‘lib,

Tengsizlik bajarilsa, u holda Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam deyiladi.
Agar Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam bo‘lsa, uning o‘lchovi deb tashqi o‘lchovini qabul qilamiz.
Ikki o‘lchovli to‘plamning birlashmasi va ayirmasi yana o‘lchovli to‘plamdir.
Teorema. (O‘lchovning additivlik xossasi)
Agar lar o‘zaro kesishmaydigan o‘lchovli to‘plamlar bo‘lsa, u holda tenglik o‘rinli.
Teorema. (O‘lchovning -additivlik xossasi)
Agar o‘zaro kesishmaydigan o‘lchovli to‘plamlar ketma-ketligi uchun bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli:

Isbot. Ixtiyoriy da

Agar da limitga o‘tsak, tengsizlikka ega. O‘lchovning yarim additivlik xossasiga ko‘ra kelib chiqadi.
Ta’rif. Agar istalgan butun sonlar to‘plamlar o‘lchovli bo‘lsa, u holda to‘plam o‘lchovli deyiladi. Agar to‘plam o‘lchovli bo‘lsa,

qator yig‘indisi to‘plamning Lebeg o‘lchovi deyiladi.

Mavzuga doir misollar.
1-misol. to‘plam kesmaning o‘lchovi 0 ga teng bo‘lgan qism to‘plami. ning ham o‘lchovi 0 ga teng bo‘ladimi?
Yechimi. ning o‘lchovi hamisha ham 0 ga teng bo‘lmaydi.
Masalan, kesmadagi ratsional sonlar to‘plamining o‘lchovi 0 ga teng. Lekin yopilmasi dan iborat bo‘lgani uchun o‘lchovi 1 ga teng.
2-misol. kesmada zich, o‘lchovi 0 ga teng bo‘lgan sanoqsiz to‘plam mavjudmi?
Yechimi. Ha, buning uchun oldin da hech qayerda zich bo‘lmagan mukammal to‘plamlarning sanoqli sistemasini qurib olamizki, ularning birlashmasining o‘lchovi 1 bo‘lishi kerak.
Eng oldin da hech qayerda zich bo‘lmagan, mukammal, o‘lchovi ga teng to‘plam quramiz. to‘plamning har bir qo‘shni intervallarida o‘lchovi interval uzunligi yarmiga teng, hech qayerda zich bo‘lmagan mukammal to‘plamlarni quramiz. U holda

to‘plam hech qayerda zich emas va mukammal. Uning har bir qo‘shni intervallarida o‘lchovli ning uzunligining yarmiga teng bo‘lgan, hech qayerda zich bo‘lmagan, mukammal to‘plamlar larni quramiz. U holda

-mukammal, hech qayerda zich bo'lmagan to‘plam bo‘ladi. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, juft-jufti bilan o‘zaro kesishmaydigan, hech qayerda zich bo‘lmagan mukammal to‘plamlarning sanoqli to‘plamini hosil qilamiz.

Bu yerda , … va shuning uchun

sifatida yana shu to‘plamlar birlashmasini olamiz.

Endi ni olsak, bu to‘plam hamma yerda zich va .
3-misol. kesmada o‘lchovi ga teng bo‘lgan, dan farqli yopiq to‘plam tuzish mumkinmi?
Yechimi. Yo‘q, agar yopiq to‘plamning o‘lchovi gat eng bo‘lsa, to‘plam o‘lchovi nolha teng bo‘lishi kerak. Lekin ochiq to‘plam bo‘lgani uchun u ichki nuqtalarga ega, ichki nuqtalar esa o‘zining biror atrofi bilan shu to‘plamda yotadi va uning o‘lchovi noldan katta bo‘ladi. Demak, ziddiyat.
4-misol. kesmaning hech qayerda zich bo‘lmagan, o‘lchovi 0,9 ga teng bo‘lgan mukammal to‘plam tuzing.
Yechimi. kesmada Kantor to‘plamiga o‘xshash to‘plam tuzamiz. Buning uchun bo‘lsin: sonlar ketma-ketligini olamiz. Oldin to‘plamdan uzunligi gat eng oraliqni chiqarib tashlaymiz. Qolgan ikkita kesmadan har biridan ga teng oraliqni chiqaramiz. Qolgan kesmalarning har biridan uzunligi ga teng oraliqlarni chiqarib tashlaymiz. Bu jarayonni biz cheksiz davom ettirib, kesmadan sanoqli sondagi oraliqlar chiqarib tashlashdan hozil bo‘lgan to‘plamni olamiz. Bu chiqarib tashlangan oraliqlar uzunliklari o‘lchovi tuzilishiga ko‘ra ga teng. to‘plam ochiq to‘plamning to‘ldiruvchisi sifatida yopiq. to‘plamdan chiqarib tashlangan oraliqlardan hech qaysi biri bir-biri bilan umumiy oraliqlarga ega emas. Demak, to‘plam yakkalangan nuqtalarga ega emas. Binobarin, mukammal to‘plam.
Endi to‘plam to‘g‘ri chiziqda hech qayerda zich emasligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy intervallarni olamiz. Agar u to‘plam nuqtalarini o‘z ichiga olmasa, to‘plamni hech bir nuqtasini o‘z ichiga olmaydigan interval sifatida ni o‘zini olamiz. Agar biror intervalgacha tegishli bo‘lsa, qadamda chiqarib tashlangan biror uzunligi ga teng bo‘lgan biror oraliq topilib, nuqtani o‘z ichiga oladi. Bu oraliqni ichida uzunligi ga teng kesmani olishimiz mumkinki, u nuqtani o‘z ichiga olmaydi. Bu interval to‘plamning nuqtalarini o‘z ichiga olmaydi va butunligicha intervalda yotadi. Bu to‘plamning hech qayerda zich emasligini ko‘rsatadi.
bo‘lgani uchun .
5-misol. kesmada shartni qanoatlantiruvchi ikkita o‘lchovli to‘plamlar berilgan. ekanligini isbolang.
Yechimi. Agar Ø bo‘lib, bo‘lsa,
.
Agar Ø bo‘lsa ham

bo‘lib, ekanidan . Bundan
bu shartga ko‘ra bajariladi.
6-misol. to‘plamlar segmentning o‘lchovli qismi bo‘lib, bo‘lsa, tengsizlikni isbotlang.
Yechimi.


shartga ko‘ra , ya’ni kelib chiqadi. Bundan esa tengsizligini olamiz.
7-misol. musbat o‘lchovli to‘plam bo‘lsin. U holda ayirma irratsional son bo‘ladigan sonlar topilishini isbotlang.
Yechimi. musbat o‘lchovli to‘plam bo‘lsa, u continuum quvvatga ega bo‘ladi. to‘plamdan olingan ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. U holda , bo‘lgan barcha sonlar to‘plami kontinuum quvvatga ega, binobarin bularning hammasi ratsional bo‘la olmaydi, boshqacha aytganda, mavjudki, -irratsional son.
8-misol. tekislikda to‘plamni quyidagicha aniqlaymiz: kvadratni to‘g‘ri chiziqlar yordamida 9 ta bir xildagi yopiq kvadratchalarga ajratmiz. Qolgan 8 ta kvadratni ham xuddi shunday 9 ta kvadratchalarga ajratib markazda joylashganini chiqarib tashlaymiz. Bu jarayonni sanoqli marta davom ettirib qolgan to‘plamni orqali belgilaymiz va bu to‘plamga Serpinskiy gilami deyiladi. Serpinskiy gilamini Lebeg o‘lchovini toping.
Yechimi. , ,
, ,
Ø , , .
9-misol. tekislikda to‘plamni quyidagicha aniqlaymiz: kvadratni to‘g‘ri chiziqlar yordamida 9 ta bir xildagi yopiq kvadratchalarga ajratmiz. Berilgan kvadrat uchlariga yopishgan 4 ta kvadratni birinchi rangdagi kvadratchalar deymiz va ularning birlashmasini orqali belgilaymiz. Har bir birinchi rangdagi kvadratchalarni yana 9 ta kvadratchaga ajratib bo‘lingan kvadratning uchiga yopishgan 16 ta kvadratchalar birlashmasini oraqali belgilaymiz va shu jarayonni cheksiz davom ettirib, to‘plamlar ketma-ketligini hosil qilamiz. Serpinskiy qabristonining Lebeg o‘lchovini toping.
Yechimi. Chiqarib tashlangan kvadratchalar to‘plamini o‘lchovini hisoblaymiz:
,
, .