Таққосламалар ёрдамида баъзи элементар масалаларни ечиш Н. М. Комилов, Ж. Д. Деҳқонов, Д. Р. Тиллаев, М. И. Абдуллаев

Таққосламалар ёрдамида баъзи элементар масалаларни ечиш
Н.М.Комилов, Ж.Д.Деҳқонов, Д.Р.Тиллаев, М.И.Абдуллаев
Андижон давлат университети
Маълумки республика ва халқаро фан олимпиадаларида қолдиқли бўлиш, охирги рақамни топиш ёки бирор сонли ифодани маълум сонга бўлинишини исботлаш зарур бўлган масалалар учраб туради. Бундай масалаларни одатдаги усуллар билан ечиш билан бирга таққосламалар ёрдамида ечиш иқтидорли ўқувчилар учун қийинчилик туғдирмайди.
Бундай масалаларни ечишдан аввал бизга керакли таъриф ва теоремаларни келтириб ўтамиз.
Таъриф. Агар иккита бутун ва сонни га бўлганда ҳосил бўладиган қолдиқлар ўзаро тенг бўлса, ва сонлар модуль бўйича тенг қодиқли ёки таққосланувчи дейилади ва

орқали белгиланади.
Энди таққосламаларнинг ассосий хоссаларини исботсиз келтириб ўтамиз:
1-хосса. Бир хил модулли таққосламаларни ҳадлаб қўшиш (айириш) мумкин.
2-хосса. Бир хил модулли таққосламаларни ҳадлаб кўпайтириш мумкин.
3-хосса. Агар таққосламанинг иккала томонидаги умумий бўлувчи модуль билан ўзаро туб бўлса, таққосламанинг иккала томонини шу умумий бўлувчига бўлиш мумкин.
4-хосса. Таққосламанинг иккала томонини ва модулни бир хил мусбат сонга кўпайтириш мумкин (агар бўлинса бўлиш мумкин).
5-хосса. Агар таққослама бир неча модуль бўйича ўринли бўлса, у шу модулларнинг энг кичик умумий карралиси бўйича ҳам ўринли бўлади.
6-хосса. Агар таққослама бирор модуль бўйича ўринли бўлса, у шу модулнинг ихтиёрий бўлувчиси модуль бўйича ҳам ўринли бўлади.
Шу билан бирга қуйидаги теоремани ҳам исботсиз келтирамиз.
Эйлер теоремаси. Агар таққосламада бўлса, бўлади, бу ерда -Эйлер функцияси бўлиб қуйидагича ҳисобланади: 1) ( туб сон бўлсин) да ; 2) да ; 3) да
Энди қуйидаги содда мисолни кўриб ўтсак.
1. нинг охирги иккита рақамини топинг. Бунинг учун ушбу сонни га бўлгандаги қолдиқни топишимиз керак. Эйлер теремасидан фойдаланиб, қуйидагини ёзиб оламиз:
(1)
Бу ерда ни топиб, (1) га олиб бориб қўямиз:
(2)
га эга бўламиз. (2) ни ҳар иккала томонини 2-хоссага кўра даражага оширсак

ҳосил бўлади. Демак, қолдиқ га тенг бўлиб, нинг охирги иккита рақами ва бўлар экан.
Бу мисолда биз ва сонлар ўзаро туб бўлган ҳол учун кўриб ўтдик. ва сонлар ўзаро туб бўлмаган ҳолда таққосламаларнинг бошқа хоссаларидан фойдаланиб охирги иккита рақамни топиш мумкин. Шу усулдан фойдаланиб охирги та, та ва ҳоказо n та рақамни топиш мумкин.
Энди фан олимпидаларда учрайдиган айрим мисолларни кўриб ўтамиз.
2. айирманинг га бўлинишини исбот қилинг. Бу мисолни ечиш учун қуйидагича ёзиб оламиз:
(3)
(3) тенгликни 1-хоссага кўра қуйидагича ёзиб оламиз:
(4)
Юқорида 1-мисолда кўриб ўтагнимиздек, бўлгани учун 2-хоссага кўра (4) ни ҳар иккала тарафини даражага ошириш мумкин. Бундан эканлиги келиб чиқади. Ёки 6-хоссага кўра (4) тенглик нинг бирор бўлувчиси бўйича ҳам ўринли бўлишини кўрсатмиз. Айтайлик, бўлсин. У ҳолда таққосламанинг таърифига кўра
(6)
эга бўламиз. (6) ни ҳар иккала қисмини даражага оширамиз:

Бундан ни га бўлиниши осонгина келиб чиқади.
3. сонини 7 га бўлганда чиққан қолдиқни топинг.
Бу мисолни қуйидагича ечамиз, аввал нинг даражалари бўйича бўлгандаги қолдиқларни текширамиз:






Бундан кейинги қолдиқлар даврий такрорланади . Энди нинг даражаларини га бўлиниш жадвалини текширамиз. Эйлер теоремасига кўра бўлгани учун ва , . Демак, 10 нинг ихтиёрий даражасини 6 га бўлганда 4 қолдиқ қолади, бундан ни ёзиш мумкин ёки . Бундан 1- хоссага кўра ёки . Демак қолдиқ 5 га тенг.
Одатда фан олимпиадаларида бериладиган мисол ва масалаларнинг тайёр аналитик ечиш йўли бўлмайди. Шунинг учун бундай мисол ва масалаларни ечишда ўқувчидан мулоҳазакорлик, чуқур изланиш ва юқори ақлий салоҳият талаб этилади.

Фойдаланилган адабиётлар рўйхати

1. Ўзбекистон Республикасининг “Таълим тўғрисидаги қонуни”. Кадрлар тайёрлаш миллий дастури. Т.: Шарқ. 1997.
2. Р.И.Искандаров, Р.Назаров “Алгебра ва сонлар назарияси” II қисм.Т.:1997
3. Ғ.Мўминов, Т.Нишонов. “Математика олимпиадалари масалалалари”. Андижон 2010