Ta’limi tizimida nazariy mexanika kursining

d ² x
^m dt ²
d ² y
 F <sup>

x</sup> 



^m dt ²
d ² z
^m dt ²
 F_{y }


 F_{z }

(2.1.5)

bu yеrda x, y, z — nuqtaning koordinatalari;
F_x , F_y, F_z -nuqtaga ta'sir ettirilgan

kuchlar tеng ta'sir etuvchisining koordinata o’qlaridagi proyеksiyalari. Nuqta erksiz bo’lsa, shu tеnglamalarga bog’lanish rеaksiya kuchlari ham kiradi.

Dinamikaning ba’zi masalalarini yechishda tabiiy koordinatalar sistemasidan
foydalanish qulay bo’ladi. Bunday sistemaga nisbatan moddiy nuqta harakatining differensial tenglamalarini tuzamiz. Tezlanish vektorining binormaldagi

proyeksiyasi nolga tengligini hisobga olib (2.1.2) ni
 


, n,b
tabiiy koordinata

o’qlariga proyeksiyalab quyidagi tenglamalarga ega bo’lamiz:

m  F _
m d _

 F
dt  ^


 
m  F


yoki
₂ 




m  F ^


(2.1.6)

n n ^
0  F_b ^_
n ^

0  F_b ^



Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchni topishda, nuqtaning harakat qonuni qanday usulda berilganiga qarab, yuqorida chiqarilgan differensial tenglamalarning vektorli (2.1.4), Dekart koordinata o’qlaridagi (2.1.5) yoki tabiiy koordinata o’qlaridagi (2.1.6) ifodalarning biridan foydalaniladi. Har qaysi usulda ham masalani yechish harakat qonunidan nuqtaning tezlanishini topishga keltiriladi. Masalan, massasi m bo’lgan moddiy nuqta harakati Dekart koordinatasida

x  f₁ (t),
y  f₂ (t), z 
f₃ (t),
tenglamalar bilan berilgan bo’lsa, shu harakatni

vujudga keltiruvchi F kuchining X, Y, Z proyеksiyalari quyidagi formulalardan topiladi:

X  m

Bundan kuchning moduli:

d ² x
,
dt²
Y  m


F 
d ² y
,
dt²
Z  m
d ² z
,
dt²

yo’nalishi:
cosF , x   ^X ,
F
cosF , y  ^Y ,
F
cosF , z   ^Z .
F
formulalardan

aniqlanadi. Bu dinamikaning to’g’ri masalasi bo’lgani uchun berilgan harakat tenglamasini ikki marta differensiallash bilan osongina yechiladi.

1. 
   masala. (I.V.Meshcherskiy)
   

Massasi m bo’lgan nuqta 1

ellips bo’ylab harakat qiladi. Nuqtaning
_x2  _y2 
_a2 _b2


tezlanishi y o’qqa parallel. t=0 bo’lganda nuqtaning koordinatalari x=0,y=b,

boshlang’ich tezlik
₀ bo’lgan. Trayektoriyaning har bir nuqtasida nuqtaga ta’sir

qiluvchi kuch aniqlansin.

2.1.1- chizma. Ellips bo’ylab harakatlanish.

Yechish. Harakat qilayotgan M nuqta tezlanish vektorining OX koordinata o’qidagi proyeksiyasini topamiz. Tezlanish OY o’qqa parallel bo’lgani uchun


d ² x

_x  _dt2  0
(1)

Bu (1) differensial tenglamaning integrali:
x  C₁t  C₂
(2)

bu yerda C₁ va C₂ – integrallash doimiylari. Nuqta harakatining boshlang’ich shartlari

t=0 bo’lganda,
_ dx _
 _dt 
  , x₀=0 (3)

0
 ₀
bo’lishidan foydalanib C₁ va C₂ ni topamiz:

1

1
С  
, C₂=0 (4)

Demak,
x   t
(5)

0
M nuqta tezlanishini topish uchun nuqta trayektoriyasining tenglamasi (1) dan vaqtga nisbatan ikki marta hosila olish kerak:

_x2 


_a2
2



y
1  0
_b2
(6)

(7), (8) va (1) tenglamalardan foydalanib izlanayotgan noma’lum miqdorni topamiz:

d ² y

  _b4 _ 2

(10)

0
dt²
_a2 _y2

Tezlanish vektori topilgandan keyin kuchning o’sha o’qdagi proyeksiyasi Y ni (1,2) tenglamadan foydalanib topamiz:

Y

2. 
   masala. (I.V.Meshcherskiy)
   

 F_y
b4_ 2

 
_m 0
_a2 _y2
(11)

Massasi 0,2 kg bo’lgan moddiy nuqtaning harakati
^{x  3cos 2t, y  4sint} (sm)

tenglamalar bilan ifodalanadi, bu yerda t-sekundlar hisobida. Nuqtaga ta’sir qiluvchi kuchning proyeksiyalari uning koordinatalari orqali ifodalansin.

Yechish. Nuqta tezlanishining koordinata o’qlaridagi proyeksiyasini aniqlaymiz:

W_x 
d ² x


dt ²

 12 ²

cos 2t


(1)

y
W  4 ² sin t
Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlarning koordinata o’qlaridagi proyeksiyasini aniqlaymiz:

cos 2t  ^x ;sin t  ^y

3 4
d ² x
^m dt ²
 F_x ; m
d ² y


dt ²
 F_y
(2)

F  m(12 ² cos 2t)  12 ²m ^x  4 ²  0,2x  0,8  986x 10^2  0,0788x
x ₃
F  m(4 ² sin t)  4  9,86  0,2  ^y  9,86  0,2 y 10^2  0,0197 y
y ₄
Moddiy nuqta dinamikasining ikkinchi asosiy masalasida massasi va nuqtaga ta’sir etuvchi kuch berilganda nuqtaning harakat qonuni aniqlanadi. Bu masalani yechish
(2.1.6) harakat differensial tenglamarini integrallashga keltiriladi.
Bu masalani yechishda nuqta harakatining differensial tenglamalarining (2.1.5) ning har birini ikki martadan integrallaymiz.

d ² x
^m dt ²
d ² y
 F <sup>

x</sup> 



^m dt ²
d ² z
^m dt ²
 F_{y }


 F_{z }

(2.1.5)

U holda

x  f₁ (t, C₁ , C₂ ,..., C₆ )
y  f ₂ (t, C₁ , C₂ ,..., C₆ )
z  f₃ (t, C₁ , C₂ ,..., C₆ )


(2.1.7)

Bu tenglama nuqta harakatining tenglamasini ifodalaydi. Bunda
C₁,C₂ ,...,C₆ -o’zgarmas miqdorlar, bu o’zgarmas miqdorlarni topish uchun

boshlang’ich shartlardan foydalanamiz. Nuqtaning boshlang’ich vaqtidagi t=0 holatini va tezligini ifodalovchi shartlar boshlang’ich shartlar deyiladi. Masalan,

x  x_0, v_x  v_{0 x}

y  y_0, v_y
 v_{0 y}
(2.1.8)

z  z_0, v_z  v_{0 z}

(2.1.7)dan vaqt bo’yicha hosila olsak, 6 ta integrallash doimiylariga bog’liq uchta funksiya hosil bo’ladi. Boshlang’ich shartlarni qo’yib 6 ta integrallash doimiylari qatnashadigan 6 ta tenglamalar sisitemasini yechib, 6 ta integrallash doimiylari aniqlanadi. Integrallash doimiylari topilgan qiymatlarini (2.1.7) ga qo’yib, boshlang’ich shartlariga mos bo’lgan nuqtaning Dekart koordinatalaridagi kinematik tenglamalarini olamiz.

Massasi m bo’lgan moddiy nuqta
F  F cos  t
^{(bu yеrda F0 va}  ^—

0

0
o’zgarmas miqdorlar) qonuniga muvofiq o’zgaruvchi kuch ta'sirida to’g’ri

chiziqli harakat qiladi. Boshlang’ich paytda nuqtaning tezligi bo’lgan. Nuqta harakatining tеnglamasi topilsin (2.1.2- chizma).
x^₀  

2.1.2-chizma. Nuqtaning harakatiga qo’yilgan kuchlar.
Yechish. Nuqtaning boshlang’ich (oldingi) paytdagi vaziyatini hisoblash boshi uchun qabul qilib Ox o’qini nuqta harakat qilayotgan to’g’ri chiziq bo’yicha yo’naltiramiz. Boshlang’ich paytda nuqta harakatda ekanligini hisobga olib, boshlang’ich shartlarini yozamiz:

t =0 bo’lganda x=0,
_ dx _

 

0

 
 _dt 

 ₀
Nuqta P og’irlik kuchi, harakatga keltiruvchi F kuch va gorizontal tekislikning N normal reaksiya kuchi qo’yilgan. Nuqtaning x o’qi bo’yicha harakat differensial tenglamasi:

yoki
d ² x


m F
dt²

d x _ F
2
⁰ cos  t
(1)


(2)

d ² x _ d
dt² m

Katod nurlarining magnit maydonida og’ishi. Manfiy е elеktr zaryadiga ega bo’lgan m massali zarracha kuchlanishi H bo’lgan bir jinsli magnit

0
maydoniga maydon kuchlanishiga pеrpеndikulyar yo’nalgan 
tеzlik bilan kirib

boradi. Zarrachaga

F  e  H 
kuch ta’sir qiladi deb hisoblab, zarracha

keyingi harakatining trayektoryasi aniqlansin(2.1.3-chizma).

2.1.3-chizma. Katod nurining magnit maydonda og’ishi.

Yechish. Koordinata o’qlarini 2.1.3-chizmada ko’rsatilgandek olamiz. Nuqtaning harakat differensial tenglamasini (1.1.3) ko’rinishida (urinma, normal va binormal o’qlardagi proyektsiyasida) tuzamiz:
^m ^d  F  0

^ dt


 _{ 2}
m


 F  e  H 

(1)


^ n


b
^0  F  0

Bularning birinchisidan
_





0

0

0

1
₁  c₁  const


(2)

Boshlang’ich shartlardan t=0 bo’lganda, bo’lgani uchun doimo
m ²
  
, bunga muvofiq
m
с  
,   

⁰  eH
yoki
⁰  eH
(3)

 0 
bo’ladi, bunda miqdorlarning hammasi o’zgarmas, undan  ni topamiz:

0
_{ } m
eH
Dеmak, zarrachaning harakat traеktoriyasi radiusi  bo’lgan aylana ekan.

2.