Talaba Qodirov Og`abek "Ikkinchi tartibli sirtlarni invaryantlar yordamida kanonik ko`rinishga keltirish" adabiyotlar asosida tahlil qilib chiqilgan

Ta’rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(4)
ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, u parabolik silindr deb ataladi.
Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(5)
ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, u ikkita kesishuvchi tekislikdan iborat bo’ladi.


Ikkinchi tartibli sirtlarni invaryantlar yordamida kanonik ko`rinishga keltirish
Biz ikkinchi tartibli sirt deganda fazoda dekart koordinatalar sistemasida koordinatalari quyidagi
(1)
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o`rnini tushunamiz.
Bu yerda koefitsentlaridan kamida bittasi noldan farqli. Yuqoridagi (1) tenglamani ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasi deb ataymiz.
Ma`lumki, ikkinchi tartibli sirt geometrik obyekt sifatida, berilgan dekart koordinatalar sistemasiga o`tganimizda o`zgarmaydi. Eslatib o`tamiz, (1) tenglama va boshqa koordinata sistemasiga o`tgandagi tenglama ekvivalentdir.
Quyida biz bir dekart koordinatalar sistemasidan boshqasiga o`tganimizda (1) tenglamaning koeffitsentlarining o`zgarishini ko`ramiz. Parallel ko`cherish va burishni alohida qaraymiz.
Quyidagicha belgilashlar kiritamiz: (1) tenglamaning yuqori tartibli hadlari

-(1) tenglamaning yuqori tartibl hadlari

-(1) tenglamaning chiziqli hadlari.
Dekart koordinatalar sistemasini
(2)
formulalar yordamida parallel ko`chirishni qaraylik. Bunda yangi koordinatalar boshining eski koordinatalar sistemasidagi koordinatalari (2) tenglamalar sistemasidagi ifodalarni (1) tenglamaga qo`yib ikkinchi tartibli sirtning yangi koordinatalar sistemasidagi tenglamasini hosil qilmiz:
(1)
Bu tenglamada
(3)
Yuqoridagilardan quyidagicha xulosa qilish mumkin: Dekart koordinatalar sistemasini parallel ko`chirganimizda yuqori tartibli hadlar oldidagi koefitsentlari o`zgarmaydi, chiziqli koeffitsentlar esa (3) formulalardagi kabi o`zgaradi.
Koordinatalar sistemasini burishda ikkinchi tartibli sirt tenglamasining o`zgarishini o`rganishda bizga quyidagi tushunchalar kerak bo`ladi.
Bizga ikkinchi tartibli sirt
(4)
tenglama bilan berilgan bo`lsa, unga tegishli nuqtadagi urinma tekislik tushunchasini kiritamiz.
Ta`rif. Ikkinchi tartibli sirtda yotuvchi va nuqtadan o`tuvchi hamma chiziqlarning shu nuqtadagi urunmalari yotuvchi tekslik sirtning nuqtadagi urinma teksligi deyiladi.
Urinma tekslik tenglamasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun nuqtadan o`tuvchi tekslik bilan sirtni kesganimizda hosil bo`lgan kesimini (chiziqni) bilan, uning nuqtadagi urinmasini bilan belgilaymiz.
Urinmaga tegishli nuqtani bilan, chiziqda nuqtaga yetarli yaqin nuqtani bilan belgilab, va nuqtalardan to`g`ri chiziq o`tkazamiz. Bu to`g`ri chiziqda nuqtaga eng yaqin nuqta bo`lsin. Biz nuqtaning koordinatalarini

ko`rinishida yozish mumkin.
Koordinatalar uchun bu ifodani (1) tenglamaga qo`ysak
(5)
tenglamani olamiz. Bu tenglikning chap tomonidagi ifoda da o`zgaruvchilar mos ravishda kattaliklarga intiladi. Yuqoridagi tenglikni ga bo`lib va tenglikni hisobga olib, da limitga o`tsak
(6)
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama sirtining nuqtadagi urinma teksligi tenglamasidir.
Biz ikkinchi tartibli chiziqlar uchun diametr tushunchasini kiritgan edik. Ikkinchi tartibli sirt uchun esa diametr tekslik tushunchasini kiritamiz. To`g`ri chiziq ikkinchi tartibli sirtni ikki nuqtada kesib o`tsa, kesma ikkinchi tartibli sirt uchun vatar bo`ladi.
Teorema. Parallel vatarlarning o`rtalari bir tekslikda yotadi.
Isbot. Ikkinchi tartibli sirt uchun maxsus tanlangan dekart koordinatalar sistemasi mavjudki, uning tenglamasida ifodalar qatnashmaydi. Bu faktni isbotlash uchun

belgilash kiritib,

funksiyani qaraymiz. Bu funksiya hamma o`zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli, ya`ni

tenglik o`rinlidir. Bundan tashqari funksiya birlik sferada chegaralangan va sferaning birorta nuqtasida bu sferadagi eng kichik qiymatga erishadi.
Funksiya bir jinsli bo`lgani uchun, u koordinata boshidan chiquvchi nurlarda funksiyaning qiymati o`zgarmaydi. Demak, nuqtada funksiya o`zining aniqlanish sohasidagi eng kichik qiymatiga erishadi.
Koordinatalar boshini o`zgartirmagan holda o`qini vektor bo`yicha yo`naltirib, yangi koordinatalar sistemasini kiritamiz. Yangi koordinatalar sistemasida funksiya

Ko`rinishiga ega bo`ladi. Maxrajda turgan ifoda nuqtadan koordinata boshigacha bo`lgan masofaning kvadrati bo`lgani uchun. Uning ko`rinishi o`zgarmaydi. Yangi koordinatalar sistemasida nuqta koordinatalarga ega va

tenglik o`rinli. Demak,

tenglikdan munosabat kelib chiqadi. Yuqoridagidek funksiyaning nuqtada minimumga erishishidan foydalanib, tenglikni olamiz. Natijada ikkinchi tartibli sirt tenglamasi

ko`rinishga keladi.
1-misol. sirt bilan to`g`ri chiziqning kesishgan nuqtalarini toping.
Yechish. Berilgan to`g`ri chiziq tenglamasini parametric
ko`rinishda yozamiz: , , , bularni beril-
gan sirt tenglamasiga qo`ysak, . Bu tenglamani soddalashtirsak,
t<sup>2</sup> + 3t + 2 = 0,
bu kvadrat tenglamaning ildizlari: , . Bu qiymatlarni
to`g`ri chiziqning parametrik tenglamalaridagi t ning o`rniga
qo`ysak,
da , y = 5 + 3(-1) = 2,
;
da , ,
.
Demak, izlagan nuqtalar: va .
2-misol. sirtning nuqtasidagi
urinma tekislik tenglamasini yozing.
Yechish. Bu yerda: a<sub>11</sub> = 1, a<sub>22</sub> = -1, a<sub>33</sub> = 0, a<sub>12</sub> = 0, a<sub>13</sub> = 0,
a<sub>23</sub> = 0, a<sub>14</sub> = -1, a<sub>24</sub> = 0, , a<sub>44</sub> = -3, x<sub>0</sub> = 1, y<sub>0</sub> = 1, z<sub>0</sub> = 5.
Bularni (8) ga qo`ysak,
yoki .
bu izlangan urinma tekislik tenglamasidir.

XULOSA
Bu kurs ishi “Analitik geometriya ” faniga bag’ishlangan bo’lib, men bu kurs ishini tayyorlash jarayonida “Ikkinchi tartibli sirtlarni invaryantlar yordamida kanonik ko`rinishga keltirish” mavzusida atroflicha yetarli bilimlarga ega bo’ldim. Shuningdek bu mavzuning bo’limlari “Ellipsoid va giperboloidlar”, “Paraboloid va silindrlar”, va “Ikkinchi tartibli sirtlarni invaryantlar yordamida kanonik ko`rinishga keltirish” haqida ham bilimlarga ega bo’ldim. Hamda “Geometriya” fanining hayotimizdagi har bir jabhada o’rni bor ekanligini tushunib yetdim. Shuning bilan birga komputerda ishlash ko’nikma va mahoratimni ham biroz bo’lsada oshirdim.
Zamonaviy ishlab chiqarish, mustaqil O’zbekiston Respublikamizda yangi texnologiyalarning qo‘llanishi va uning ilmiy – texnika taraqqiyoti o‘sib kelayotgan yosh avlodning grafik tayyorgarligiga hamda texnikaviy fanlar bo‘yicha chuqur bilimdon bo‘lib yetishishiga katta talablar qo‘yilmoqda. O‘quvchilarning grafik bilimini ko‘nikma va malakalarini tarkib toptirish samarodorligini oshirish bugungi kunda dolzarb muammolardan biridir. Shuni hisobga olib men “Ikkinchi tartibli sirtlarni invaryantlar yordamida kanonik ko`rinishga keltirish “ bo’yicha kerakli ma’lumotlarni toplashga harakat qildim. Talabalar egallashi kerak bo’lgan grafik bilim, ko’nikma va malakalarini hosil qilish va sifat samarodorligini oshirishda boshqa fanlar qatorida analitik geometriya ham katta amaliy ahamiyatga ega.
Kurs ishiga xulosa qilib aytganda, talabalarning mantiqiy fikrlashini rivojlantirishda planimetriya kursining imkoniyatlari bisyor. Xullas ushbu kurs ishida analitik geometriyaning asosiy tushunchalari ikkinchi tartibli chiziqlar va ularga doir masalalar yechishni organdim.