Tabiat qonunlaridan foydalanib matematikaga doir masalalar

1 AMALIY MASHG`ULOT
TABIAT QONUNLARIDAN FOYDALANIB MATEMATIKAGA DOIR MASALALAR
Ishdan maqsad: tabiat qonunlariga doir masalalarni echish


Topshiriqlar:
Kichik miqdordagi radioaktiv modda (uran) qalin qoplamli material (qo‘rg‘oshin) bilan qoplangan. Bu moddani saqlash yoki uning energiyasidan foydalanish vaziyati mavjud. Mavjud parametrlardan foydalangan holda radioaktiv moddaning sochilish qonuniyatini aniqlang.
Masalada kichik miqdor deganda, radioaktiv moddaning erkin tarqalish uzunligi moddaning xarakterli o‘lchami dan sezilarli darajada katta, ya’ni tushuniladi. Qalin qatlamli material deganda, tarqalayotgan radioaktiv moddalarni barchasi II sohada

(qo‘rg‘oshinda) yutiladigan qilib olingan, ya’ni zarralarni ikkinchi moddada tarqalish uzunligi moddaning xarakterli o‘lchami dan sezilarli darajada kichik, ya’ni .
Shunday qilib, qaralayotgan masalada I sohadan (radioaktiv moddadan) uchib chiquvchi barcha zarrachalar II sohada (qo‘rg‘oshinda) yutiladigan (shu sohadan chiqib ketmaydigan) vaziyatni qaraymiz. Bu holat materiyaning saqlanish qonunini o‘zginasidir. Agar boshlang‘ich momentda moddalarning vaznlari va bo‘lsa, materiyaning saqlanish qonuniga ko‘ra ixtiyoriy vaqtdagi moddalarning vaznlari uchun ushbu balans o‘rinli bo‘ladi:
, (2)
Bunda va – birinchi va ikkinchi moddalarning momentdagi vaznlari. Faqatgina bitta tenglamaning o‘zi va qiymatlarning o‘lchamini aniqlashning imkoniyatini bermaydi. Moddalarning xarakteridan kelib chiqqan holda, vaqt birligida sochilayotgan atomlar soni radioaktiv moddalar soniga to‘g‘ri proporsional bo‘ladi. Shuning uchun ma’lum vaqt mobaynida va momentlar oralig‘ida sochilayotgan atomlar soni
, ,
ifodani qanoatlantiradi. Bunda – momentdagi sochilayotgan zarralar soni. Zarrachalar soni kamayib borayotganligi tufayli oxirgi tenglikning o‘ng tomoniga “–” ishorasi qo‘yiladi. miqdor esa qaralayotgan vaqt oralig‘idagi o‘rtacha atomlar sonini bildiradi, ya’ni

deyish mumkin. Shuning uchun oxirgi tenglikdan
ёки
тенгликни ҳосил қиламиз. Бу тенгликда вақтни кичик миқдорлигини эътиборга олсак, ушбу

differensial tenglamani hosil qilamiz. Endi , – 1-modda atomi og‘irligi, ekanligini e’tiborga olsak,
(3)
tenglamani hosil qilamiz.
Har bir atom o‘z-o‘zidan radioaktivligi uchun uni o‘rab turuvchi modda holatidan bog‘liqsiz holda sochilish ehtimoliga ega bo‘ladi. Shuning uchun ham radioaktiv moddalar qancha ko‘p bo‘lsa, zarralarning sochilishi shuncha ko‘p bo‘ladi va aksincha. proporsionallik koeffitsiyenti esa konkret moddadan bog‘liq holda aniqlanadi. (2) va (3) tenglamalar va shartlar asosida , va miqdorlar bilan birgalikda qaralayotgan masalaning matematik modelini ifodalaydi.
(3) tenglamani integrallab, bo‘linuvchi modda massasi eksponensial qonun bo‘yicha kamayishini ko‘rish mumkin
,
miqdorni boshlang‘ich shart ekanligidan, izlanayotgan massa

ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdan, da bo‘lishi kelib chiqadi, ya’ni vaqt o‘tishi bilan modda to‘liq yo‘q bo‘lib ketadi. (2) ifodaga ko‘ra massalar yig‘indisi o‘zgarmas bo‘lganligi uchun, II sohada modda miqdori ortib boradi:

va da bo‘lishi kelib chiqadi, ya’ni vaqt o‘tishi bilan, zarralarning sochilishi tufayli birinchi moddadagi barcha radiaktiv moddalar ikkinchi moddaga ko‘chib o‘tar ekan.
Eslatib o‘tish joizki, issiqlik hajmi va erkin o‘tish (harakat) uzunligi va dan bog‘liq funksiyalar bo‘lishi mumkinligidan issiqlik o‘tkazish koeffitsiyenti zichlik va temperaturadan bog‘liq bo‘ladi:
(4)
Masalan, odatdagidek sharoitlarda bo‘lgan gazda issiqlik molekulalar orqali ko‘chadi (molekulyar issiqlik o‘tkazuvchanlik). Bu holda kattalik uchun munosabat o‘rinli bo‘ladi, bo‘lganligi uchun (4) dan ekanligini olamiz (issiqlik sig‘imi o‘zgarmas deb olinadi). Plazmada (bunda issiqlik asosan elektronlar orqali o‘tkaziladi) elektronning yurish uzunligi va dan bog‘liq, shunday ekan va kattalik uchun ( o‘zgarmas).