T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

+ Ax = x
  deb  olaylik.  U  holda 
Ax = x - x0
  va  Дх^>0  boMib, 
natijada
,lm  f
 =   ,im 
f± l
 + у
 ~ 
.   ,im
Ддг->о Дх 
д*-»о 
Дл: 
х — х0
bo‘ladi.  Demak,  /(х )  funksiyaning  х0  nuqtadagi  hosilasi 
x
 -» x0  da 
~/(*Q)
x-x0
nisbatning limiti sifatida ham ta’riflanishi mumkin:
/*(*
0
)  =   lim 
— )~f(Xo).
x-*x0  x-x0
xo nuqtada  hosilaga  ega  boMgan  funksiya  shu  nuqtada 
differensiallanuvchi 
deyiladi. 
Agar 
fix)
 
funksiya 
(a, 
b)
 
intervalning  har  bir  nuqtasida 
differensiallanuvchi  boMsa,  u  (a, 
b) intervalda  differensiallanuvchi  funksiya 
deyiladi.
Hosilani topish amali 
differensial lash amali
 deyiladi.
Yuqoridagi limit mavjud boMgan har birxo nuqtaga aniq bitta son mos keladi, 
demak 
f\x) -
 bu yangi funksiya boMib, u yuqoridagi limit mavjud boMgan barcha x 
larda aniqlangan. Bu funksiya 
f[x)
 funksiyaning 
hosila funksiyasi,
 odatda, 
hosilasi 
deb yuritiladi.
2-§. Hosilaning ta’rifi, hosilaga ega bo‘lgan funksiyaning uzluksizligi
125

---

Endi  hosila  ta'rifidan  foydalanib, 
у =
 / (
x)
  funksiya  hosilasini  topishning 
quyidagi algoritmini berish mumkin:
1-qadam.  Argumentning tayinlangan 
x
 qiymati ga mos funksiyaning qiymati 
fix )
 ni topish.
2-qadam.  Argument 
x
 ga 
fix )
  funksiyaning  aniqlanish  sohasidan  chiqib 
ketmaydigan 
Ax
 orttirma berib 
f(x
 + Длг) ni topish.
3-qadam. Funksiyaning Д/(х)  = 
f(x
 + 
Ax)
 — f ix )  orttirmasini hisoblash.
4-qadam. 
nisbatni tuzish.
5-qadam. 
nisbatnmg Д* -» 0 dagi limitini hisoblash.
5.2-misol.
 
fix)
  = 
kx + b
 funksiyaning hosilasini toping.
Yechish.
  Hosila topish  algoritmidan  foydalanamiz.  Argument 
x
  ni  tayinlab, 
funksiya qiymatini hisoblaymiz: 
fix )
  = 
kx + b.
 Argumentga 
Ax
 orttirma beramiz, 
u  holda 
fix
 + Дх)  = 
k(x
 -I- 
Ax) + b = kx + kAx
 + 
b.
  Funksiya  orttirmasi 
Af(x)
  =  
f{x
 + Ax) — 
f(jx)
  =  (
kx
 + 
к Ax
 + 
b)
 -  ( 
kx
 + 
b) = kAx
 
boiadi.
nisbatni tuzamiz: 
^
 =  
k.
  Limitni hisoblaymiz:  lim 
=  lim /с  = 
к.
Д* 
Д* 
Дх-»0  Дх 
Дх->0
Demak,  (
kx + b)'
 = 
к
 ekan
Xususan, 
fix )
  = 
b
  o‘zgarmas  funksiya  (bu  holda 
к
  = 0)  uchun  (
b)' =
 0; 
fix )
 =  
x (k
  =  1) funksiya uchun 
x'
 =  1 bo'ladi.
5.3-misol.
 
f i x ) = ^
  funksiyaning hosilasini toping.
Yechish.  Argumentning tayinlangan 
x
 qiymatiga mos funksiyaning qiymati 
fix )
 =  
x
  ga 
Ax
  orttirma  berib,  funksiyaning 
x
 + 
Ax
  nuqtadagi  qiymatimi 
hisoblaymiz: 
fix
 + 
Ax)
  = 
. Bu yerda umumiylikni cheklamagan holda 
x >
  0 
va  |Дх|  <  
x
  deb  hisoblaymiz.  Funksiyaning  orttirmasini  hisoblaymiz: 
A fix )
  = 
fix
 + Ajc) — 
fix) =
  —
=  — ~ — . 
Orttirmalar 
nisbatini 
yozib,
'  
х+Ддг 
х(х+Дх) 
J
 
’
soddalashtiramiz: 
= — ,  A-* ■
■
■
■
■
  = — ?  1-.-.  Bu  nisbatning  limitini
Д
x
 
х(х+Дх)Дх 
x2+xAx 
°
hisoblaymiz:  lim 
=   цт  
(
—
-1
— 'j  =  _  -L
Дх-»0  Д* 
Дх-*0  V 
х 2+хДдг/ 
хг 
126

---

Demak, (±)' =  - ± .
2. 
Hosilaga  ega  boMgan  funksiyaning  uzluksizligi. 
f(x
) 
funksiyaning 
*o nuqtada hosilaga ega boMishi  bilan  uning shu nuqtada uzluksiz boMishi  orasida 
quyidagi bogManish mavjud:
5.4-teorema  Agar 
fix )
  funksiya x0  nuqtada hosilaga  ega boMsa,  u  holda 
funksiya shu nuqtada uzluksiz boMadi.
Isbot 
0 Faraz qilaylik, 
fix )
 funksiya x nuqtada hosilaga ega boMsin. Demak, 
ushbu  Hm  —
"x_xn
  °  limit mavjud va 
f(x0)
 ga teng. Barcha 
x*x0
 nuqtalarda ushbu
tenglik o ‘rinli: 
f(x) — f(x Q)
  = 
• 
(x
 — x0). Uholdako‘paytmaning limiti
X —X
q
haqidagi teoremaga ko‘ra
lim 
(f(x)
 - / O o ) )   =  lim 
( —
— —
*-*•> 
x-x„y 
x - x Q
(x - xQ)
  =
f ix ) - f ix
 o)
=  
(— Г— ----Hm 
ix - xQ)
  = 
f i x
 o) -0  = 0
* ^ 0  
X  
X
q
 
X —*X
q
boMadi. Bu esa 
fix )
 funksiyaning 
x0
 nuqtada uzluksizligini bildiradi. ♦
Bu  teoremaning  teskarisi  o‘rinli  emas,  ya’ni  funksiyaning  nuqtada 
uzluksizligidan  uning  shu  nuqtada  hosilasi  mavjudligi  kelib  chiqavermaydi. 
Masalan, 
у
  = 
\
x\
  funksiya 
x
  ning  barcha  qiymatlarida,  xususan 
x = 0
  nuqtada 
uzluksiz, ammo 
x
 = 0 nuqtada hosilaga ega emas. Bu funksiyaning 
x =
  0 nuqtadagi 
orttirmasi 
Ay
 =  |Дх| boMib, undan
lim 
—
 =  1,  lim  ^  = -1
Дх-*+оДх 
Дх-*-о Дх
Д 
у  •
 
1
 
. . . . .
va дх  nis^atn,ng 
dagi  limiti  mavjud emasligi  kelib chiqadi,  demak 
fix )
  =
\
x\
 funksiya 
x
  = 0 nuqtada hosilaga ega emas.
3. Bir tomonli hosilalar.
5.5-ta’rif. 
Agar 
Ax-> +
 0 (Дх-* -  0) da ^  nisbatning limiti
Hm 
Hm 
Hm 
Hm  Я * о  + а * ) - Я * , )
Дх-»+ 
o 
Ax
 
Дх-*+ 
o 
Ax
 
Дх-*- 
о 
Ax
 
Дх-*- 
о 
Ax
127

---

mavjud  va  chekli  bo'lsa,  bu  limit 
f(x
)  funksiyaning 
x0
  nuqtadagi  o'ng  (chap) 
hosilasi deb ataladi va 
fl(x 0) (f'_(x0))
 kabi belgilanadi.
Odatda funksiyaning o'ng va chap hosilalari 
bir tomonli hosilalar
 deb ataladi. 
Yuqoridagi misoldan, 
f{x
)  =  |x| funksiyaning 
x
 = 0 nuqtadagi o‘nghosilasi 
1
  ga, chap hosilasi - 
1
  gatengligi kelib chiqadi.
Funksiyaning hosilasi ta’rifi va bir tomonli hosila ta’riflardan hamda funksiya 
limiti  mavjudligining  zaruriy  va  yetarli  shartidan  quyidagi  teoremaning  o'rinli 
ekanligi kelib chiqadi:
5.6-teorema. 
Aytaylik, 
f(x)
  funksiya 
x0
  nuqtaning biror atrofida  uzluksiz 
bo'lsin.  U  holda 
f(x
)  funksiya 
x0
  nuqtada 
f'{x
0)  hosilaga  ega  bo'lishi  uchun
f+(x
o), 
f-
 (*o)  lar mavjud va 
fl(x 0)
  = 
fl(x0)
 tenglikning o'rinli bo'lishi zarur va 
yetarli bo'ladi.
Isbot 
(5-7-masala).
3-§. Hosilaning geometrik va fizik ma'nolari. Urinma va normal tenglamalari
3.1. Hosilaning geometrik ma’nosi. 
Yuqorida biz,  agar 
у
 
= 
f(x)
  funksiya 
grafigining 
M0(x0;f(x0
))  nuqtasida  urinma  o'tkazish  mumkin  bo'lsa,  u  holda
urinmaning  burchak  koeffitsienti 
kurinma
  =  lim 
7
^  ekanligini  ko'rsatgan  edik.
дх-»о Длг
Bundan hosilaning geometrik ma’nosi kelib chiqadi:
у =  
f(x)
 funksiya grafigiga abssissasi 
x
 = 
x0
  bo'lgan nuqtasida o'tkazilgan 
urinmaning  burchak  koeffitsienti  hosilaning  shu  nuqtadagi  qiymatiga  teng 
kurinma  ~ f
  (^o)-
3.2. Hosilaning fizik ma'nosi. 
Hosila tushunchasiga olib keladigan ikkinchi 
masalada  harakat  qonuni  s  = 
s(t)
  funksiya  bilan  tavsiflanadigan  to'g'ri  chiziq 
bo'ylab  harakatlanayotgan  moddiy  nuqtaning 
t
  vaqt  momentidagi  oniy  tezligi
v oniy 
~
 J i
m0
 
^
 ekanligini ko'rgan edik. Bundan hosilaning fizik (mexanik) ma’nosi
kelib chiqadi.
128

---

s =  s(t)  funksiya  bilan  tavsiflanadigan  to‘g‘ri  chiziqli  harakatda 
t
  vaqt 
momentidagi harakat tezligining son qiymati hosilaga teng: 
voniy
  = s'(t)-
Hosilaning  mexanik  ma’nosini  qisqacha  quyidagicha  ham  aytish  mumkin: 
yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan hosila tezlikka teng.
Hosila tushunchasi  nafaqat  to‘g‘ri  chiziqli  harakatning oniy  tezligini,  balki 
boshqa  jarayonlaming  ham  oniy  tezligini  aniqlashga  imkon  beradi.  Masalan, 
Aytaylik,  у = 
Q(T)
 jismni 
T
  temperaturaga  qadar  qizdirish  uchun  uzatilayotgan 
issiqlik  miqdorining  o‘zganshim  tavsiflovchi  funksiya  boMsin.  U  holda jismning 
issiqlik  sig'imi
  issiqlik  miqdoridan  temperatura  bo‘yicha  olingan  hosilaga  teng 
boMadi:
С
  = —  =  lim  ——. 
dT
 
дг-о 
AT
Umuman olganda, hosilani 
f(x)
 funksiya bilan tavsiflanadigan jarayon oniy 
tezligining 
matematik mode/i
 deb aytish mumkin.
3.3. 
Urinma  va  normal  tenglamalari. 
Aytaylik, 
у 
— 
f(x
) 
funksiya 
x
0 
nuqtada  hosilaga  ega, 
M(x0,f(x 0))
  funksiya  grafigiga  tegishli  nuqta  bo‘lsin. 
Funksiya grafigiga shu nuqtada oltkazilgan urinma tenglamasini tuzaylik.
Bu tenglamani 
у
 = 
kx
 + 
b
  ko‘rinishda izlaymiz.  Izlanayotgan to‘g‘ri chiziq 
M(xo>f(xo))
  nuqtadan  o‘tishi  ma’lum,  shu  sababli 
f(x 0) =  kx0 + b
  tenglik 
o‘rinli.  Bundan 
b
  = 
f(xQ) — kx0
  ekanligini  topamiz.  Demak,  urinma tenglamasi 
у
 =  
kx + f{x0) -  kx0
 yoki 
у =  f
 (x0) + 
k(x — x
0) ko‘rinishga ega boiadi. Agar 
urinmaning 
к
  burchak  koeffitsienti  hosilaning 
x0
  nuqtadagi  qiymatiga  tengligini 
e’tiborga olsak,  у 
= f(x)
  funksiya  grafigiga 
M(x0,f(x 0))
  nuqtasida  o‘tkazilgan 
urinma tenglamasi quyidagicha boMadi:
У = 
fix
 o) + 
f  ix 0)ix
 - 
x0)
 
(1)
У = 
fix )
 funksiya  grafigining 
M(x0; f(x0))
  nuqtasidan  o‘tadigan  va  shu 
nuqtadagi  urinmaga  perpendikulyar  boMgan  to‘g‘ri  chiziq  normal  deyiladi. 
M a’lumki, agar 
kurinma  Ф
 
0
 boMsa, urinma va normalning burchak koeffitsientlari
129

---

кnormal ' kurinma
  =  
—1
 
shart biJan bogMangan bo'ladi.  Bundan 
у   =  
f{ x
) 
funksiya 
grafigiga M(x0; f  (x0))
 
nuqtasida o'tkazilgan normal tenglamasini
У ш 
W
keltirib chiqarish mumkin.
5.7-izoh,  Agar 
kurinma  =
 0  boMsa,  u holda  urinma tenglamasi 
у 
= f(x0), 
normal tenglamasi esa 
x - xD
 boMadi.
5.8-misol.  Abssissasi 
x
 =  1  boMgan  nuqtada 
у 
= ^
 giperbolaga o‘tkazilgan 
urinma va normal tenglamalarini tuzing.
Yechish.  Bu  misolda 
x0
  =  1, 
f(x0) = 1,  f\x)
  = - _ L   ,  / ' ( l )   =  -1.  Bu
x
2
qiymatlami (1) formulaga qo‘yib urinma tenglamasini hosil qilamiz: 
у =  1 —
 (х —
1), ya’ni 
у 
=
  2 - х ;
(2) formuladan  foydalanib,  normal tenglamasini yozamiz: 
у
 =