T o s h k e n t d a V l a t I q t I s o d I y o t u n I v e r s I t e t I e k o n o m e t r I k a

1. 
Agar 
Y =  V +  W,
Co\(X,  Y)
 = Cov(A', 
V)
 + 
Cov(X,  W)
Bu qoida kovariatsiyaga uchta oddiy o'zgartirishlam i  qo'llash mumkinligini 
ko'rsatadi.  Ulam ing  isboti  keyinroq berilgan.  Dastlab kovariatsiyalami  qo'shish 
haqida.
1. 
Agar 
Y=V+W,
Cov(X  Y) = Cov(X,  V) +
 Cov(X, 
W)
2. 
Agar 
Y = bZ,
 bu yerda 
b
 konstanta,
C ov(^, 
Y)
 = C ov(^, 
bZ) = bCov(X, Z)
Keyingisi kovariatsiyalam i  ko’paytirish haqida,  unda o'zgaruvchilar o'zgarmas 
koeffitsientga ko'paytiriladi.
1. 
AgaiY=V+W,
Cov(X,  Y) = Cov(X, V)
 + 
Cov(X, W)
2. 
Agar 
Y
 = 
bZ,
 bu yerda 
b
  o'zgarm as had,
Cov(X,  Y)
 =  CovC*; 
bZ)
 = 
bCov(X, Z)
M asalan:  Cov(Ar, 3
Z)
 =  3Cov(Ar, 
Z)
M isol
1. 
A gar 
Y=  V+ W,
Cov(X,  Y)
 =  
Cov(X,  F) + Cov(X, W)
2. 
A g ar^  = 
bZ,
 bu yerda 
b
 o'zgarm as had,
Cov(Ar, 
Y)
 =  Cov(X, 
bZ)
 =  
ЬСо\(Х, Z)
M asalan: 
Cov(X,
 3
Z)
 = З С о у ^ , Z)
3. 
A gar У = 
b,
 bu yerda 
b
 o'zgarm as xad,
Cov(Ar, 
Y) = Cov(X,b) = 0
Nihoyat, keng qo'llanadigan qoida
1. 
A gar 
Y=  V+ W,
Cov(X, 
Y)
 =  Cov(A, 
V)
 + Cov(*, 
W)
2. 
A gar 
Y
 = 
bZ,
  bu yerda 
b
  o'zgarm as had,
Cov(X,  Y)
 =  C ov(*, 
bZ) = bCov(X, Z)
Masalan: 
Cov(X,
 3
Z)
 = 
3Cov(X, Z)
3. 
Agar 
Y = b,
 bu  yerda 
b
  o ’zgarmas  had ,
Cov(A',  K)  = 
Cow(X, b) =
 0
Masalan:  Cov(Ar,  10) = 0 
M isol.
Faraz qilaylik. 
Y=b\+b2Z

---

Bu  oddiy  qoidani  qo'llashga  misol  b o 'la   oladi.  Faraz  qilaylik,  o'zgaruvchi 
Y 
boshqa  Z  o'zgaruvchiga  nisbatan  chiziqli  funksiya  bo'lsin  va  biz  Cov(A',  У) 
kovariatsiyasini  tahlil qilmoqchimiz.
Masalan:
Faraz kilaylik, 
Y=b\
  + 
b2Z
Cov(X, Y)
 
-- 
Cov(X, [b
 1  + 
b2Z])= Cov(X, b
 1) + Cov(Z, 
b2Z)
Bu yerda  birinchi qoida qo'llanildi.
Masalan:
Faraz qilaylik, 
Y=b\  + b2Z
Co\(X, Y)
 
= 
Cov(X,
 [61  + 
b2Z])= Cov(X,b\) +
 Cov(Ar, 
b2Z)
= 0 + Cov(Jr, 
b2Z)
Bu erda uchinchi  qoida qo'llanildi 
Masalan:
Faraz qilaylik, 
Y=b\+b2Z
Co\(X, Y)
 
= Cov(X, 
[b\
  + 
b2Z\y= Cov(X,
 61) + Cov(A; 
b2Z)
=  0 + Cov(A; 
b2Z)
 =  
b2Cov(X, Z)
B u y erda ikkinchi qoida qo'llanildi. B u  m isollam i yanada davom  ettirish
mumkin.
1. 
A gar 
Y=V+W,  Cov(X, Y)
 =  Cov(X, 
V) + Cov(X,  W) 
C m U C . Y l r - i i X . - X y y , - ? )
П
  | . |
Y uqoridagilam i tekshirish uncha qiyin em as, shu sababli, uni bu yerda k o 'rib  
o'tinnaym iz.
Har gal  isbotlash quyidagi yozuvdan boshlanadi Cov(A', 
Y).
1. 
A gar 
Y=V+W,
  Co
v(X, Y)
 =  Cov(A; 
V)
 + 
Cov(X,  W)
со
 v ( * , r ) = - ! - £ ( * , - а д
- F )
П
  <-i
= - ± { x , - x W ,  + fr,]-lv  + Ў1)
П
  i.l
Endi  biz  Y ning o ’m iga uni  ikkiga ajratib V i va  Wi  lami  qo'yam iz
1. 
A gar 
Y =  V +  W,
  Cov(X, 
Y)
 = Cov(X, 
V) +
 Cov(A', 
W)

---

Keyinchalik  Y  ikkitta o'rtacha  V  va  W.  qiymatlariga almashiriladi 
. 
C o v (* ,K ) = i £ ( *   _ а д _ к )
1 ‘ 
tl
  с I
= - ± ( X , - X ) ( [ v , + w ] - [ 7  + W])
П
  . . I
A g a r 
Y = V + W t  Cov(Xy  Y) = Cov(X>  V)
  +  
Cov(X,  W)
Cov(A',K) = - Z ( ^ , -  W . - Y )
n
 
l - l
=   - t A
X
, - x w
.   +   w , ] - [ v   + Щ
)
П
  .-1
=   - ± ( x i - x w
. - n + W
, - w
] )
П
  i-i
Endi 
V
 va 
W
 kom ponentlam ing navbat tartibini  o’zgartiramiz. 
V
 ning 
bo’laklarini  birgalikda qaraymiz.  Bu  FFbo'Iaklari uchun ham tegishli.
1. 
Agar 
Y=V+W,
  Cov(X, 
Y)
 = Cov(X, 
V)
 + Cov(X, 
W
Co v ( * , r ) = - ! - £ ( * , - а д
- F )
n
 i-l
=   - i ( x , - x ) ( [ K + & , ] - [ ?   +   & ] )
n
  i-l
= - ± ( x l - x x [ K - n + W - w ] )
n
 i.|
= -Z(*. -
XXV,  - v
)+-£(*, -
X W ,  - W )
П
  / . |  
n
  i - l
Agar 
Y=V+Wf  Cov(X, Y)
 =  Cov(JT, 
V)
 + 
Cov{X9 W
с о у ( ^ , у ) = - 2 ; ( л г , - а д   - F )
n
 
/-1
= - £ { x , - x y ( i K + i r . l - l v + f r j )
п
 /-1
= - £ ( x , - X ) ( [ K - n + [ f r , - i v ] )
П
  i . 1
=-£(*, - 
x y y ,   -   П   +   - i ( x ,
 - 
x y g r ,   -   W )
n
 i.l 
n
 ..I
= Cov(X,V) + Cov(X,W)
Bu biz kutgan natijani berganligini  ko'rsatadi.
2. 
A garK = 
bZ,
 bu yerda 
b
 konstanta,
CovCY, 
Y)
 =  
Cov(X, bZ) = bCov(X, Z)
C 'ov(^,K ) = i Z ( ^ , - ^ ) ( ^  
Y)

---

Endi  ko'paytirish amalini  ко  rib chiqamiz, unda o'zgaruvchi  konstanta bilan 
ко  paytiriladi.
2. 
Agar У = 
bZ,
  bu yerda 
b
 konstanta 
Cov(X, 
Y)
 = Cov(A-, 
hZ) = bCov(X, Z)
C o v ( ^ , n  = - Z ( ^  
X )(J,-Y)
n
  >.i
= - £ ( *  
-X)(bZ,-bZ) 
n
  i.l
Y 
ning bo'laklari unga mos  ravishda 
bZ
 lar bilan almasntirildi.
2. 
A g a r / =  
bZ,
  bu yerda 
b
 konstanta 
Cov(X,  Y) = Cov(X, bZ) = bCov(X, Z)
Cov(X,Y) = - ± { X , - X ) ( Y - Y )
n
  1.1
= - t ( X , - X ) ( b Z , - b Z )
Yi
  / - I
= b - ± ( X , - X ) ( Z , - Z )  
n
  l-l
a
 umumiy om il hisoblanadi
2. 
A g a r / =  
bZ,
  bu yerda 
b
 konstanta 
Co\(X, Y)
 = Cov(A; 
bZ)
 =  
bCov(X, Z)
C o y ( X , Y )  = - £ ( X , - X W - Y )  
л ы
= - £ ( x , - m z , - b z )
ft
 M 
9
= b ± - £ ( X , - X ) ( Z l - Z )  
n
 w 
= b C o \ ( X , Z )
Demak, biz oldingi natijani  oldik.
3. 
A gar 
Y =b,
 bu yerda 
b
 konstanta 
Cov(Ar, 
Y) = Cov(X, b) = Q
Co v ( ^ , r )  = - i ( ^ , - W
- F )
П M
Endi  uchinchi  qoidaga doir m isollam i k o 'rib  chiqamiz
3. 
A garK = 
b,
 bu yerda 
b
 konstanta 
Cov(X,  Y) = Cov(X, b) = 0
Co v
(X,Y) = - Z ( X , - X X Y , - Y )
П
 M
= - ± ( х , - х х ь - Ь )
П ы

---

K bulaklari  mos ravishda a  ning bo'laklari  bilan  alm ashindi.
3. 
A gar 
Y=b,
  bu  yerda 
b
 konstanta,
Cov(A', 
Y) = Cov(X, b)
 = 0
Cov(A',)') = - £ ( * ,  
X)(Y,-Y) 
n
= - £ ( * .   Л )(й-6)
n 
„ I
- £ ( * ,  
X)(b-b)
a
 ning o 'rta ch a qiymatlari  uning o'ziga 
a
  teng
3. 
A g a r y =  
b,
  bu yerda 
b
 konstanta 
Cov(X,  Y)
 = 
Cov(X, b) = 0
C o v ( X , Y )  = - £ ( X , - X ) ( Y , - Y )
П
 
,.1
= - £ ( X ~ X ) ( b - b )
=  - £ ( Х , - Х ) ( Ь - Ь )
П 
t*\
= 0
O 'zgaruvchilar y ig'indisi nolga teng chunki  undagi har b ir omillar nolga teng.
7.2.Tanlov variatsiyasi v a  variatsiya  qoidalari 
Tanlov variatsiyasining tarifi
Tasodifiy X  o'zgaruvchini haqida kuzatuvlar berilgan va variatsiya  X ning 
o 'rta ch a qiym atidan farq lari ning kvadratidir.
V a r W  = - i №
- ^ ) 2
П M
У а г ( Л  = - 1 ( * , - Л 3
П 1
.1
= - £ ( Х , - Х Х Х , - Х )  
n
  M
T anlov variatsiyasi  tanlov kovariatsiyasining xususiy holidir.  Buni  olish uchun 
kvadratni boshqacha yozamiz.
V ar(X ) = i t ( ^ . - ^ ) J
Tl
  i-l
= - ± ( X , - X ) { X , ~ X )
n
  -I
= Co\(X ,X)
Demak biz X  ning kovariatsiyasini  topdik.

---

V ariatsiyaning birinchi qoidasi  :
A gar 
Y=V+W,  Var(Y)
  = 
Var(V)  +  Var(W)
  + 
2Cov(V,  W)
Biz bu  natijani kovariatsiya qoidalarini  topish uchun ham  qo'llash im iz 
mumkin.  Birinchi  qoidani  ikki tasodifiy o'zgaruvchilam ing variatsiya y ig ’indisini 
topish  uchun  q o'llaniladi.
Variatsiya qoidasi  :
Agar 
Y =  V + W,
  Var(Y) = Varv(V,  W)
Isboti:
V a r(
Y) =
 Co
v(Y, Y) = Cov(Y, [V
 + 
W])
У kovariatsiyasi  quyidagicha.
Variatsiya qoidasi:
A gar У = 
V+ W,
 Var(J0 = V ar(F) + 
Vzr{W) + 2Cov(K  W)
Isboti:
V ar(I0 = Cov(T, 
Y)
 =  Cov(7, 
[V+ W]) = Cov(Y,  V)
 +  Cov(T, 
W) 
Birinchi  kovariatsiya qoidasini kengaytiramiz.
V ariatsiya qoidasi:
A gar 
Y= V+ W,
  V ar(J0 =  V ai(F) + Var
(W) + 2Cov(V,  W)
Isboti:
V ar(10  = C o v (r, 
Y) = Cov(Y, [V+  W])=
 Cov(X, 
V) +
 Cov(T, 
W) 
= C o v ([F +  
W],  V) +
 C ov([K +  
W\, W)
Endi 
Y
o 'm ig a  kuyib chiqamiz.
Variatsiya qoidasi:
Agar 
Y
 = 
V+ W,
  V ar(I0 = V ar(F) +  Var
(W) +
 2C ov(F , 
W)
Isboti:
V ar(y) = Cov(Y, 
Y)
 =  C o v (r, 
[V+  Щ)=
 Cov(Y, 
V)
 + Cov(T, 
W)
=  C o v ([K +  
fV],V) +
 C ovflT  + 
W],  W)= Cov(K  V) + Co\(W
, 
V) + 
+Cov(K  W) + Cov(fV,  W)
K ovariatsiya qoidasini yana ikki bor qo'llaym iz.
Variatsiya  q o id a s i:
A garX =  
V+W,  Var(Y)
  = 
Var(V)
  + 
Var(W)
  + 
2Cov(V,  W)
isboti:

---

Var(K) = C ov(
Y,
  У) -   Cov(y, 
[V+  W])=
 С о у (Қ   K)  +  C o v (r, 
IV)
=
 Cov([F-t 
W\,
  F) + C ov([K + 
IV],  W)=Cov(V,  V) + Cov(W
, 
V)
+
  C o v (
V,  \V)
 + 
Cov(W,  fV)=
 V ar(F)  i  Var(0O + 
2Cov(V,  W)
C ov(F , 
V)ni
  Var(V)  variatsiyasidan olamiz. Cov((C,  (^)ni  V ar
(IV)
  dan  topamiz. 
Cov(W , V) va Cov(V, W)  kovariatsiyalari  bir xil.
V ariatsiyaning  ikkinchi  q o id a s i:
A gar 
Y= bZ,
  bunda 
b
  konstanta,Var(X) =  fc2Var(Z)
D em ak tasodifiy  o'zgaruvchi variatsiyasini o 'zg arm as hadga k o ‘paytiramiz. 
V ariatsiyaning ikkinchi  qoidasi:
A gar Г = 
bZ,
  bu  yerda 
b
 konstanta,  V ar(y)  =  ft2Var(Z)
Isboti:
Var(K)  = Cov(y, 
Y)
 = C o v (r, 
bZ)
Y 
o 'z in in g  kovariatsiyasi va o'zgaruvchini erkin hadga k o'paytirish kerak.
V ariatsiyaning ikkinchi qoidasi:
AgarY = bZ,  bu erda  b konstanta,  Var(Y)
  = 
b2 Var(Z)
Isboti:
V ar(y) = Cov(7, 
Y) =
 Cov(7, 
bZf= bCov(Y, Z).
Endi  ikldnchi qoidaning qo'llanishini k o 'rib  chiqam iz.
V ariatsiyaning ikkinchi q o id a s i:
AgarY = bZ,  bu yerda  b konstanta,  Var(Y)  = b2Var(Z)
Isboti:
V ar(y) = C o v (r, 
Y)
 = Cov(T, 
bZ)=
 6Cov(Y, Z)= 
bCo\(bZ, Z) 
V ariatsiyaning ikkinchi q o id a si:
Agar Y
 = 
bZ,  bu yerda  b konstanta,  Var(Y)  = b2Var(Z)
Isboti:
Vai(Y)
  =  Cov(K, 
Y) = Cov(Y, bZy= bCov(Y, Z)= b2Cov(bZ, Z)
= fc2Cov(Z, 
Zy=
 i JVar(Z) 
va nihoyat, ikkinchi kovariatsiya qoidasini yana qo'IIaym iz.
V ariatsiyaning uchinchi  qoidasi:
AgarY = b,  bu yerda  b  konstanta,  Var(Y)  = 0 
O datda o'zgarm as  xadning variatsiyasi  nolga teng.
V ariatsiyaning uchinchi qoidasi:

---

Agar Y
 = 
b, bu yerda  b  konstanta
  , 
Var(Y)  = 0 
Isboti:
V ar(y) = 
Cov(Y, Y)
 = Cov(b, 
b)
 = 0 
Buni  isbotlash  uchun  3 -kovariatsiya qoidasini  qo'llaym iz.
Variatsiya to'rtinchi qoidasi:
Agar  Y
 = 
V +  b,  bu yerda b konstanta,  Var(Y)
  = 
Var(V)
Isboti:
V ar(y) = V ar(H +  
b)
 = Var(K) + Var(b) + 2Cov(F, 
b
)
Buni  isbotlash uchun birinchi qoidani eslaym iz.
V ariatsiya to 'rtinchi q o id a s i:
A gar К = 
V+ b,
  bu yerda 
b
 konstanta ,  Var^T) =  V ai(F )
Isboti:
V ar(F) = V arti)
 =  Var(H) + V ar(6) +  2Cov(K, 
b)
 =  V ar(F)
Uchinchi variatsiya v a  kovariatsiya qoidalaridan oxrgi ikki kism  nolga teng 
bulishini isbotlaymiz.
Variatsiya to 'rtin ch i q o id a s i:
Agar 
Y=  V+ b,
 bu yerda 
b
 k o n sta n ta ,  V a r(r) =  Var(K)
Isboti:
Vax(Y)
 = V a r(F +  
b) =
 V ar(
V) + Vai(b) +
 2Cov(K, 
b) = УаҚУ)