T. I. Umarov s. I. Xudoyberdiyev iqtisodiy matematik usullar va

2. 
Transport 
masalasiga 
keltiriladigan 
iqtisodiyotning 
ba’zi 
masalalari. 
Transport  masalasini  yuklarni  tashishga  hech  qanday  aloqasi  bo’lmagan 
iqtisodiy  masalalarni  yechishga  tadbiq  etish  mumkin.  Transport  masalasidagi 
maqsadli  funksiya 
ij
С
  koeffitsiyentlari  faqat  yo’l  harajati  (narxi)  bo’lmasdan 
masalaning  muayyan  qo’yilishiga  qarab  har  xil  ma’noda  bo’lishi  mumkin. 
Masalan,  masofa,  vaqt,  unumdorlik,  mahsuldorlik  va  boshqalar.  Shunday 
masalalardan bir nechasining qo’yilishi va uning matematik modelini qaraymiz. 

 
65
1).  Avtotransportning  bo’sh  (yuksiz)  o’tadigan  yo’lini  minimallashtirish  bilan 
unumdorlikni  oshirish  masalasi.  Ma’lumki,  muayyan  yuklar  oqimini  tashishda 
transportlar,  amalda  bo’sh  (yuksiz)  yo’l  yuradi.  Transportning  yuksiz  yurishini 
kamaytirish  albatta  unumdorlikning  oshishiga  olib  keladi.  Bunday  masalaning 
matematik modelini tuzamiz. 
Bir  smenada 
m
  ta 
i
A
    ta’minlovchilardan   
n
    ta 
j
B
  iste’molchilarga 
)
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
(
n
j
m
i
x
ij


  bir  jinsli  (bitta  va  shu  transport  bilan  tashiladigan  yuk 
bir  xil  ma’nosida)  yuk  tashilishi  kerak  bo’lsin.  Yukni  tashish  jarayonida 
transport smena mobaynida 
j
B
 iste’molchidan mos ravishda 
j
b
 avtotonna yuksiz 
yurishi  hamda 
)
,...,
2
,
1
(
m
i
A
i

  ta’minlovchilargacha  yetkazilishi  kerak  bo’lgan 
mos  ravishda 
i
a
  avtotonna  yuklar  ma’lum  bo’lsin.  Har  bir  iste’molchidan,  har 
bir ta’minlovchigacha bo’lgan masofa 
ji
l
 ma’lum.  
Avtomobil  transporti  bilan  yuk  tashishni  shunday  rejalashtirish  kerakki, 
rejadagi  hamma  yuklar  tashilib,  yuksiz  bosib  o’tilgan  jami  yo’l  yurish  minimal 
bo’lsin. 
ji
l
  bilan  j  -  iste’molchiga  yuk  tushirilgandan  keyin  i-  ta’minlovchigacha 
yuksiz  yuradigan  transport  miqdori  avtotonna  bo’lsin,  bu  holda  jami  yuksiz 
yurish miqdori 
   




n
j
m
i
ji
ji
y
l
W
1
1
   
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
funksiya bilan ifodalanadi. Masalaning qo’yilishidan 
 





m
i
i
n
j
j
a
b
1
1
 
bo’ladi. Shunday qilib, bu masalada (1) chiziqli funksiyaning  
















n
j
i
ji
m
i
ji
j
ji
m
i
a
y
y
n
j
b
y
1
1
,...,
2
,
1
,
,
0
,
,...,
2
,
1
,
 
cheklash  shartlar  sistemasini  qanoatlantiruvchi  minimal  qiymatini  topish  kerak 
bo’ladi. 
Avtotransportning  yuksiz  yurishini  kamaytirish,  rejadagi  yukni  tashishga 
ajratiladigan  avtomobillar  sonini  kamaytirish  bilan  ularning  unumdorligini 
oshirishga va sezilarli iqtisodiy samaraga olib keladi. 
2)  Stanoklarda  detallarga  ishlov  berish  operatsiyalarini  taqsimlash  masalasi. 
Korxonada  m  ta  turdagi  stanok  bo’lib,  ularning  maksimal  ishlash  vaqti 
imkoniyati  mos  ravishda   
)
,...,
2
,
1
(
m
i
a
i

  soat  bo’lsin.  Har  bir  stanok 
n
  ta 
operatsiya  bajarishi  mumkin.  Har  bir  operatsiyani  bajarish  jami  vaqti  mos 
ravishda 
)
,...,
2
,
1
(
n
j
b
j

  soat  bo’lsin.  i  -  stanokning  j  -  operatsiyani  bajarish 
unumdorligi 
ij
С
  ma’lum.  Stanoklarning  qaysisida  qanday  operatsiyalar 
bajarilishi  vaqtini  shunday  rejalashtiringki  bunda  ishlov  berilgan  detallar  soni 
maksimal bo’lsin.  

 
66
        Masalaning  matematik  modelini  tuzish  uchun 
)
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
(
n
j
m
i
x
ij


 
bilan  i  -  stanok,  j  -  operatsiyani  bajarish  vaqtini  belgilaymiz.  Bu  holda  i-
stanokda  ishlov  berilgan  detallar  miqdori 
ij
ij
x
С
  bo’ladi.  Hamma  stanoklarda 
ishlov berilgan detallarning jami miqdori 




m
i
n
j
ij
ij
x
C
Z
1
1
     
funksiya bilan ifoda ifodalanadi. i-stanokning maksimal ishlash vaqti 
imkoniyati 
i
a
 bilan chegaralanganligi uchun, undan to’liq foydalanilsa 




n
j
i
ij
m
i
a
x
1
,...,
2
,
1
,
 bo’lib, to’liq foydalanilmasa 




n
j
i
ij
m
i
a
x
1
,...,
2
,
1
,
 bo’ladi. 
      
Ikkinchi  tomondan  j  -  operatsiyaga  ajratilgan  vaqt 
j
b
  soat  bo’lganligi 
uchun 




m
i
j
ij
n
j
b
x
1
,...,
2
,
1
,
  bo’ladi.  Masala  shartlaridan  ma’lumki,  hamma 
stanoklarning  umumiy  ishlash  vaqti,  stanoklarning  maksimal  ishlash  vaqt 
imkoniyati yig’indisiga va hamma operatsiyalarni bajarishi zarur bo’lgan vaqtlar 
yig’indisiga teng, ya’ni 






m
i
n
j
m
i
i
ij
a
x
1
1
1
  va  






m
i
n
j
n
j
j
ij
b
x
1
1
1
 
tenglik bajariladi. Oxirgi tengliklardan 





m
i
m
j
j
i
b
a
1
1
 
kelib chiqadi. 
Shunday qilib, 




m
i
n
j
ij
ij
x
C
z
1
1
 chiziqli funksiyaning 
















m
i
j
ij
n
j
ij
i
ij
n
j
b
x
x
m
i
a
x
1
1
,...,
2
,
1
,
,
0
,
,...,
2
,
1
,
 
cheklash shartlari sistemasini qanoatlantiruvchi maksimal qiymatini topish kerak 
bo’ladi. Bunday masalani potensiallar usulidan foydalanib yechish mumkin. 
3. Parametrli chiziqli dasturlash masalalari. 
Ma’lumki,  chiziqli  dasturlashning  umumiy  masalalari  o’zgarmas 
miqdorlar: 
j
С
, 
ij
a
  koeffitsiyentlarni,  ozod  hadlar 
)
,...,
2
,
1
,
,...,
2
,
1
(
n
j
m
i
b
i


  larni 
o’z ichiga oladi. Lekin, amalda bu miqdorlar aniqlanishidan o’zgaruvchi bo’lib, 
biror  intervalda  o’zgarishi  mumkin.  Iqtisodiy  masalaning  optimal  yechimi,  bu 
sonlarning  biror  mumkin  bo’lgan  intervalda  o’zgarishida  optimalliligicha 
qolishini  tekshirish  zarur  bo’ladi.  Shuning  uchun,  chiziqli  dasturlash  masalasi 
koeffitsiyentlari  va  ozod  hadlarining  o’zgarishi  optimal  yechimga  qanday  ta’sir 
etishini  tekshirish  masalasi  yuzaga  keladi.  Bunday  tekshirishlar  parametrli 
chiziqli dasturlash masalasiga olib keladi. Parametrli dasturlash har xil iqtisodiy 
jarayonlar,  ishlab  chiqarishni  rejalashtirish,  optimal  boshqarishni  tekshirish 
natijasida hosil bo’ladi. 

 
67
1) Chiziqli funksiya  



n
j
j
j
x
C
Z
1
 
j
C
  koeffitsiyentlari  biror,  masalan, 


j
j
j
j
C
C
C
C




,
  intervalda  o’zgarsin. 
Tekshirishlarning qulayligi uchun chiziqli funksiya koeffitsiyentlarini 
j
j
j
C
C
C






)
(
     
ifoda  bilan  almashtiramiz,  bu  yerda 
j
j
C
C

 ,
  o’zgarmaslar, 

  -  biror  chegarada 
o’zgaruvchi parametr bo’lsin. 
Endi chiziqli dasturlash masalasini quyidagicha ifodalash mumkin: 
m
i
b
x
a
i
n
j
j
ij
,...,
2
,
1
,
1




 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
)
,...,
2
,
1
(
,
0
n
j
x
j


  
 
 
 
 
 
 
 
(2) 
chiziqli cheklash shartlarini qanoatlantiruvchi shunday 
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
X 
 vektorni 
topish kerakki, 

 ning 





  intervaldagi har bir qiymati uchun 






n
j
j
j
j
x
C
C
Z
1
)
(

   
 
 
 
 
 
 
 
(3) 
chiziqli funksiya minimum qiymatga ega bo’lsin. 
Bunday  masalaning  yechimini 

  parametrning  o’zgarishiga  qarab 
tekshiramiz. 

=

  bo’lsin,  simpleks  usuldan  foydalanib  ushbu  ikki  holatga 
kelamiz:  1) 

=

  uchun  optimal  reja  mavjud;  2) 

=

  uchun  chiziqli  funksiya 
chegaralanmagan. 
 
Bunday hollarni alohida-alohida tekshiramiz: 
1-hol. 

=

    uchun  optimal  reja  olingan  bo’lib, 
n
A
A
A
,...,
,
2
1
  sistemasidan 
olingan 
m
  ta  vektorlardan  iborat  biror  bazisga  mos  kelsin.  Optimallik  shartiga 
asosan uning 
1

m
 satri baholari 
0


j
j
C
Z
 shartni qanoatlantiradi. 
j
j
j
C
C
C





 
bo’lganligi  uchun  optimallik  sharti 
n
j
C
Z
j
j
j
j
,...,
2
,
1
,
0







  ko’rinishda 
bo’ladi,  bu  yerda 
j
j


,
  lar  biror  haqiqiy  sonlar.  Bundan  ma’lum  bo’ladiki 
n
j
j
j
,...,
2
,
1
,
0





 tengsizliklar sistemasi birgalikda bo’lib,  hamma 
0

j

 lar 
uchun 
j
j





, hamma 
0

j

 lar uchun 
j
j





 yechimlarga ega bo’ladi. 
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 











,
учун
 
лар
0
 
барча
,
)
(
max
0
j
j
j
j





 











,
учун
 
лар
0
 
барча
,
)
(
min
0
j
j
j
j





 
bo’lsin,  bu  holda  masalaning 



  bo’lgandagi  optimal  yechimi 





 
tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  hamma    lar  uchun  optimal  yechimi  mos  keladi. 
Bu  holda 
]
,
[


 intervalning chap chetki  nuqtasi aniq,  ya’ni 

 
 bo’ladi. Endi 
]
,
[


  intervalning  o’ng  chetki  nuqtasini  aniqlash  kerak  yoki 



  bo’lganda 

 
68
masalaning yechimi yo’qligini isbotlash kerak bo’ladi. Demak, 

 chekli bo’lsa, 



 bo’ladi. 



 bo’lsa, yechish jarayoni tugaydi. 

 va 

 larning qiymati oldindan berilmagan bo’lsa, lekin 

 ning o’zgarish 
intervali  sistemasini  va  ularga  mos  optimal  yechimni  topish  kerak  bo’lsa, 
n
j
j
j
,...,
2
,
1
,
0





  tengsizliklar  sistemasi  yechimga  ega  bo’lgan  bazisni 
aniqlash  kerak  va  shu  sistema  yordamida 

  va 

  larni  topish  mumkin.  Keyin 

 
  va 



  bo’lganda  tekshirishni  yuqoridagi  usul  bilan  davom  ettirish 
kerak bo’ladi. 
Bunday  masalalarning boshqa hollarini matematik dasturlash o’quv rejasi 
kengroq kurslarda o’rganiladi. 
Endi parametrik dasturlashga misol qaraymiz. 
1-misol.  Korxona  ikki  M  va  N  turdagi  mahsulot  ishlab  chiqarish  uchun  uch 
xildagi  xom  ashyodan  foydalanadi.  Har  bir  mahsulotni  ishlab  chiqarish  uchun 
xom ashyo sarfi hamda xom ashyo zahirasi ushbu jadvalda berilgan. 
 
Xom ashyo 
turlari 
1 birlik mahsulotlarni ishlab chiqarish 
uchun xom ashyo sarfi 
Xom ashyo 
zahirasi 
M 
N 
I 
4 
1 
16 
II 
2 
2 
22 
III 
6 
3 
36 
 
 
Mahsulotlar  narxi,  M  mahsulot  uchun  2  dan  12  so’mgacha,  N  mahsulot  uchun 
13  dan  3  so’mgacha  o’zgarishi  mumkin  bo’lsin  va  bu  o’zgarish 
t
C
t
C




13
,
2
2
1
 tengliklar bilan ifodalansin, bunda 
10
0

 t
. 
 
Har  bir  turdagi  mahsulotlar  narxlarining  mumkin  bo’lgan  o’zgarishini 
hisobga  olgan  holda  ularni  ishlab  chiqarishdan  umumiy  qiymati  maksimum 
bo’ladigan rejani tuzing [5, 194-bet]. 
 
Yechish. 
1
x
  bilan  ishlab  chiqarilishi  kerak  bo’lgan  M  mahsulot  miqdorini, 
2
x
 
bilan ishlab chiqarilishi kerak bo’lgan N mahsulotning miqdorini belgilaylik. Bu 
belgilashdan keyin masalaning matematik modeli quyidagicha ifodalanadi: 
t (
10
0

 t
) parametrining har bir qiymati uchun 











,
36
3
6
,
22
2
2
,
16
4
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
                                                                          
 
(1) 

 
69
     
0
,
0
2
1


x
x
   
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) 
 
cheklash  shartlarini  qanoatlantiruvchi 
2
1
, х
х
  o’zgaruvchilarning  shunday 
qiymatini topish kerakki 
2
1
)
13
(
)
2
(
x
t
x
t
F




           
 
 
 
(3) 
maqsadli funksiya maksimum qiymatga ega bo’lsin. 
(1)  va  (2)  tengsizliklarga  mos  yechimlar  ko’pburchagini  yasaymiz  (1-
chizma).  
Keyin 
0

t
uchun 
26
13
2
2
1


x
x
(26 soni ixtiyoriy olindi) to’g’ri chiziqni 
va 
)
13
;
2
(
C
 vektorni yasaymiz. Yasalgan to’g’ri chiziqni 
C
 vektor yo’nalishi 
 
 
 
17 
16 
15 
14 
13 
12 
11 
10 
9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
1 
-1 
-2 
-3 
2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 
 
 
16
4
2
1

 x
x
 
56
7
8
2
1

 x
x
 
36
3
6
2
1

 x
x
 
44
11
4
2
1


x
x
 
22
2
2
2
1

 x
x
 
26
13
2
2
1


x
x
 
III 
II 
I 
2
x
 
1
x
 
 
1-chizma. 

 
70
 
bo’yicha  (o’zini-o’ziga)  parallel  siljitib,  uning 
ОАВДЕ
  yechimlar  ko’pburchagi 
bilan  oxirgi,  umumiy  nuqtasi  A(0;11)  da  bo’lishini  aniqlaymiz.  Demak,  (1)-(3) 
masala 
0

t
  bo’lganda 
)
11
,
0
(
0
X
  optimal  yechimga  ega  bo’ladi.  Bu  yechimning 
mohiyati M  mahsulot 1 birligining  narxi 2+0=2 so’m, N  mahsulot 1 birligining 
narxi 
13
0
13


  so’m  bo’lganda,  N  mahsulotdan  11  birlik,  M  mahsulotdan  esa 
ishlab chiqarilmaganda umumiy baho 
143
max

F
 bo’lib, u optimal bo’ladi. 
Endi   
2

t
  bo’lsin. 
44
11
4
)
2
13
(
)
2
2
(
2
1
2
1






x
x
x
x
  (44  soni  ixtiyoriy 
olindi)  to’g’ri  chiziqni, 
)
11
;
4
(
1
C
  vektorni  yasab,  to’g’ri  chiziqni  o’zini-o’ziga 
parallel  siljitib,  A(0,11)  nuqtada  yechimlar  ko’pburchagi  bilan  oxirgi  umumiy 
nuqtaga  ega  bo’lishini  aniqlab, 
2

t
  bo’lganda  ham 
)
11
,
0
(
0
X
  yechim  optimal 
yechim  ekanligini  topamiz.  Bundan  M  mahsulot  narxi  2+2=4  so’m  va  N 
mahsulot  narxi  13-2=11  so’m  bo’lganda  ham  N  mahsulotdan  11  birlik,  M 
mahsulot  ishlab  chiqarilmaganda  korxona  uchun  maqsadga  muvofiqligini 
ifodalaydi  hamda  mahsulotlarning  umumiy  bahosi 
121
11
11
0
4
max





F
  so’m 
bo’ladi. 
 
1-chizmadan  ko’rinadiki,  ishlab  chiqarishning  bu  rejasi 
t
  ning  istalgan 
qiymati  uchun 
h
x
t
x
t




2
1
)
13
(
)
2
(
  to’g’ri  chiziq 
22
2
2
2
1

 x
x
  to’g’ri  chiziqqa 
parallel  bo’lgunga  qadar  optimal  yechim  bo’lib  qoladi.  Parallellik 
2
13
2
2
t
t



, 
ya’ni 
5
,
5

t
  bo’lganda  bajariladi. 
t
  ning  bu  qiymati  uchun  AV  kesmaning 
istalgan nuqtasi (1)-(3) masalaning optimal rejasi bo’ladi. 
 
Shunday  qilib, 
5
,
5
0

 t
  uchun 
)
11
,
0
(
0
X
  optimal  reja  bo’lib  qoladi  va 
maqsadli funksiya maksimum qiymati  
 
t
t
t
F
11
143
11
)
13
(
0
)
2
(
max








 
bo’ladi. 
 
Endi 
t
  ning  5,5  dan  katta  biror  qiymatini  olaylik,  masalan, 
6

t
  bo’lsin. 
6

t
 uchun (1)-(3) masalaning yechimini izlaymiz. 
56
)
6
13
(
)
6
2
(
2
1




x
x
  (56  soni  ixtiyoriy  olindi)  to’g’ri  chiziqni  va 
)
7
,
8
(
2
C
 
vektorni  yasaymiz.  Yasalgan  to’g’ri  chiziqni 
2
C
vektorning  yo’nalishi  bo’yicha 
o’zini-o’ziga  parallel  siljitib,  uning  yechimlar  ko’pburchagi  bilan 
)
10
,
1
(
B
 
nuqtada  oxirgi  umumiy  nuqtaga  ega  bo’lishini  aniqlaymiz.  Demak, 
6

t
 
bo’lganda  (1)-(3)  masala  optimal  yechimga  ega  bo’ladi.  Bu  yechimning 
mohiyati  1  birlik  M  mahsulotning  narxi  2+6=8  so’m,  1  birlik  N  mahsulotning 
narxi 13-6=7 so’m bo’lganda,  mahsulotlarni  ishlab chiqarishning optimal  rejasi 
M mahsulotdan 1 birlik, N mahsulotdan 10 birlik ishlab chiqarish kerak bo’ladi. 
Bunday rejada mahsulot ishlab chiqarishning umumiy bahosi maksimum  
 
78
10
7
1
8
max





F
 so’m 
bo’ladi. 
 
1-chizmadan  ko’rinadiki,  har  qanday 
5
,
5

t
  uchun  ishlab  chiqarishning   
)
10
,
1
(
1
X
  rejasi 
h
x
t
x
t




2
1
)
13
(
)
2
(
  to’g’ri  chiziq   
36
3
6
2
1

 x
x
  to’g’ri  chiziqqa 
parallel  bo’lib  qolgunga  qadar  optimal  reja  bo’lib  qoladi.  Parallellik  

 
71
3
13
6
2
t
t



,  ya’ni 
8

t
  bo’lganda  bajariladi. 
t
  ning  bu  qiymati  uchun  VD 
kesmaning  istalgan  nuqtasi  (1)-(3)  masalaning  optimal  rejasi  bo’ladi.  Demak, 
har  qanday 
8
5
,
5

 t
  uchun 
)
10
,
1
(
1
X
  (1)-(3)  masalaning  optimal  rejasi  bo’lib, 
maqsadli funksiyaning maksimal qiymati  
t
t
t
F
9
132
10
)
13
(
1
)
2
(
max








  
bo’ladi. 
 
1-chizmadan  foydalanib,  yuqoridagidek  mulohaza  yuritib,  har  qanday 
10
8

 t
  uchun  (1)-(3)  masalaning  optimal  yechimi 
)
8
,
2
(
2
X
  bo’lishini  topish 
mumkin  (buni  topishni  o’quvchiga  havola  etamiz).  Bu  rejada  har  qanday 
10
8

 t
 uchun maqsadli funksiyaning masimal qiymati 
t
F
6
108
max


   
bo’ladi. 
 
Shunday qilib, (1)-(3) masalaning ushbu yechimini hosil qilamiz: 
5
,
5
0

 t
 bo’lsa, optimal reja 
)
11
,
0
(
0
X
 bo’lib, 
t
F
11
143
max


 bo’ladi; 
8
5
,
5

 t
 bo’lsa, optimal reja 
)
10
,
1
(
1
X
 bo’lib, 
t
F
9
132
max


 bo’ladi; 
10
8

 t
 bo’lsa, optimal reja 
)
8
,
2
(
2
X
 bo’lib, 
t
F
6
108
max


 bo’ladi;